So lösen Sie eine Quadratwurzelgleichung

Die Quadratwurzel einer Zahl ist ein Wert, der mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt. Zum Beispiel ist die Quadratwurzel von 0 0, die Quadratwurzel von 100 ist 10 und die Quadratwurzel von 50 ist 7,071. Manchmal können Sie die Quadratwurzel einer Zahl, die selbst ein "perfektes Quadrat" ist, herausfinden oder sich einfach daran erinnern, das Produkt einer ganzen Zahl multipliziert mit sich selbst; Im Laufe Ihres Studiums werden Sie wahrscheinlich eine mentale Liste dieser Zahlen entwickeln (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Probleme mit Quadratwurzeln sind im Ingenieurwesen, in der Analysis und in praktisch allen Bereichen der modernen Welt unverzichtbar. Obwohl Sie Rechner für Quadratwurzelgleichungen leicht online finden können (siehe Ressourcen für ein Beispiel), ist das Lösen von Quadratwurzelgleichungen ein wichtiges Kenntnisse in Algebra, weil Sie sich mit der Verwendung von Radikalen vertraut machen und mit einer Reihe von Problemtypen außerhalb des Bereichs der Quadratwurzeln arbeiten können an sich.

Die Tatsache, dass die Multiplikation zweier negativer Zahlen zusammen eine positive Zahl ergibt, ist in der Welt der Quadratwurzeln wichtig, weil sie impliziert: dass positive Zahlen tatsächlich zwei Quadratwurzeln haben (zum Beispiel sind die Quadratwurzeln von 16 4 und -4, auch wenn nur ersteres intuitiv ist). Ebenso haben negative Zahlen keine reellen Quadratwurzeln, da es keine reelle Zahl gibt, die einen negativen Wert annimmt, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird. In dieser Darstellung wird die negative Quadratwurzel einer positiven Zahl ignoriert, so dass "Quadratwurzel von 361" als "19" und nicht als "-19 und 19" genommen werden kann.

Auch wenn Sie versuchen, den Wert einer Quadratwurzel zu schätzen, wenn kein Taschenrechner zur Hand ist, ist es wichtig zu wissen, dass Funktionen mit Quadraten und Quadratwurzeln nicht linear sind. Sie werden später im Abschnitt über Graphen mehr dazu sehen, aber als grobes Beispiel haben Sie bereits beobachtet, dass die Quadratwurzel von 100 10 und die Quadratwurzel von 0 0 ist. Auf den ersten Blick könnte dies dazu führen, dass Sie vermuten, dass die Quadratwurzel von 50 (die auf halbem Weg zwischen 0 und 100 liegt) 5 sein muss (was auf halbem Weg zwischen 0 und 10 liegt). Sie haben aber auch schon gelernt, dass die Quadratwurzel aus 50 7,071 ist.

Schließlich haben Sie vielleicht die Idee verinnerlicht, dass die Multiplikation zweier Zahlen eine Zahl ergibt größer als sich selbst, was bedeutet, dass die Quadratwurzeln von Zahlen immer kleiner sind als das Original Nummer. Das ist nicht der Fall! Auch Zahlen zwischen 0 und 1 haben Quadratwurzeln, und in jedem Fall ist die Quadratwurzel größer als die ursprüngliche Zahl. Dies lässt sich am einfachsten mit Brüchen zeigen. Zum Beispiel hat 16/25 oder 0,64 ein perfektes Quadrat sowohl im Zähler als auch im Nenner. Dies bedeutet, dass die Quadratwurzel des Bruchs die Quadratwurzel seiner oberen und unteren Komponenten ist, die 4/5 beträgt. Dies entspricht 0,80, einer größeren Zahl als 0,64.

"Die Quadratwurzel vonx" wird normalerweise mit einem sogenannten Radikalzeichen oder einfach mit einem Radikal (√ ) geschrieben. Also für jedenx​:

stellt seine Quadratwurzel dar. Umgedreht das Quadrat einer Zahlxwird mit einem Exponenten von 2 geschrieben (x​²). Exponenten nehmen hochgestellte Zeichen für Textverarbeitung und verwandte Anwendungen und werden auch Potenzen genannt. Da radikale Zeichen nicht immer einfach auf Abruf zu produzieren sind, kann man auch "die Quadratwurzel vonx" ist die Verwendung eines Exponenten:

Dies wiederum ist Teil eines allgemeinen Schemas:

bedeutet "erhöhen"xhochja, dann nimm die 'z' Wurzel davon."x​^1/2 bedeutet also "erhöhenxzur ersten Potenz, das ist einfachxwieder und ziehe dann die 2 Wurzel davon oder die Quadratwurzel." Erweitere dies,x​^(5/3) bedeutet "erhöhen"xhoch 5, dann finde die dritte Wurzel (oder Kubikwurzel) des Ergebnisses."

Radikale können verwendet werden, um andere Wurzeln als 2, die Quadratwurzel, darzustellen. Dies geschieht durch einfaches Anhängen eines hochgestellten Zeichens oben links an das Radikal.

stellt dann die gleiche Zahl dar wiex​^(5/3) aus dem vorherigen Absatz tut.

Die meisten Quadratwurzeln sind irrationale Zahlen. Das bedeutet, dass es sich nicht nur um schöne, saubere ganze Zahlen handelt (z. B. 1, 2, 3, 4.. .), aber sie können auch nicht als saubere Dezimalzahl ausgedrückt werden, die ohne Rundung endet. Eine rationale Zahl kann als Bruch ausgedrückt werden. Auch wenn 2,75 keine ganze Zahl ist, ist es eine rationale Zahl, weil es dasselbe ist wie der Bruch 11/4. Ihnen wurde bereits gesagt, dass die Quadratwurzel von 50 7,071 ist, aber dies ist tatsächlich auf unendlich viele Dezimalstellen gerundet. Der genaue Wert von √50 ist 5√2, und Sie werden gleich sehen, wie dieser ermittelt wird.

Sie haben bereits gesehen, dass Gleichungen mit Quadraten und Quadratwurzeln nichtlinear sind. Eine einfache Möglichkeit, sich daran zu erinnern, besteht darin, dass die Graphen der Lösungen dieser Gleichungen keine Geraden sind. Dies ist sinnvoll, denn wenn, wie bereits erwähnt, das Quadrat von 0 gleich 0 und das Quadrat von 10 gleich 100 ist, aber das Quadrat von 5 nicht 50 ist, muss der Graph, der sich aus der einfachen Quadrierung einer Zahl ergibt, seinen Weg zum richtigen Werte.

Dies ist beim Graphen von. der Fall

wie Sie selbst sehen können, indem Sie den Rechner in den Ressourcen besuchen und die Parameter ändern. Die Linie geht durch den Punkt (0,0), und y geht nicht unter 0, was Sie erwarten sollten, weil Sie das wissenx​² ist nie negativ. Sie können auch sehen, dass der Graph symmetrisch um denja-Achse, was auch sinnvoll ist, weil jede positive Quadratwurzel einer gegebenen Zahl von einer negativen Quadratwurzel gleicher Größe begleitet wird. Daher ist mit Ausnahme von 0 jedesjaWert in der Grafik vonja​ = ​x​² ist verbunden mit zweix-Werte.

Eine Möglichkeit, grundlegende Quadratwurzelprobleme von Hand anzugehen, besteht darin, nach perfekten Quadraten zu suchen, die im Problem "versteckt" sind. Zunächst ist es wichtig, einige wichtige Eigenschaften von Quadraten und Quadratwurzeln zu kennen. Eine davon ist, genau wie √x​² ist einfach gleichx(weil Radikal und Exponent sich gegenseitig aufheben):

Das heißt, wenn Sie ein perfektes Quadrat unter einem Radikal haben, das eine andere Zahl multipliziert, können Sie es "herausziehen" und als Koeffizienten für das, was übrig bleibt, verwenden. Zum Beispiel, zurück zur Quadratwurzel von 50

Manchmal kann es vorkommen, dass Sie eine Zahl mit Quadratwurzeln erhalten, die als Bruch ausgedrückt wird, aber immer noch eine irrationale Zahl ist, weil der Nenner, der Zähler oder beide ein Radikal enthalten. In solchen Fällen werden Sie möglicherweise aufgefordert, den Nenner zu rationalisieren. Zum Beispiel die Zahl

hat sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Rest. Aber nachdem Sie "45" genauer unter die Lupe genommen haben, können Sie es als das Produkt von 9 und 5 erkennen, was bedeutet, dass

Daher kann der Bruch geschrieben werden

Die Radikale heben sich gegenseitig auf und es bleibt 6/3 = 2.