Die elementare Algebra ist einer der Hauptzweige der Mathematik. Algebra führt das Konzept der Verwendung von Variablen zur Darstellung von Zahlen ein und definiert die Regeln für die Manipulation von Gleichungen, die diese Variablen enthalten. Variablen sind wichtig, weil sie die Formulierung verallgemeinerter mathematischer Gesetze und die Einführung unbekannter Zahlen in Gleichungen ermöglichen. Es sind diese unbekannten Zahlen, die im Mittelpunkt von Algebra-Problemen stehen, die Sie normalerweise dazu auffordern, nach der angegebenen Variablen zu lösen. Die "Standard"-Variablen in der Algebra werden häufig als x und y dargestellt.
Lösen von linearen und parabolischen Gleichungen
Verschieben Sie alle konstanten Werte von der Seite der Gleichung mit der Variablen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens. Zum Beispiel für die Gleichung
4x^2 + 9 = 16
subtrahiere 9 von beiden Seiten der Gleichung, um die 9 von der variablen Seite zu entfernen:
4x^2 + 9 - 9 = 16 - 9
was vereinfacht zu
4x^2 = 7
Dividiere die Gleichung durch den Koeffizienten des variablen Termes. Beispielsweise,
\text{if } 4x^2 = 7 \text{ then } \frac{4x^2}{4} = \frac{7}{4}
was dazu führt
x^2 = 1,75
Ziehen Sie die richtige Wurzel der Gleichung, um den Exponenten der Variablen zu entfernen. Beispielsweise,
\text{if } x^2 = 1,75 \text{ then } \sqrt{x^2} = \sqrt{1.75}
was dazu führt
x = 1,32
Mit Radikalen nach der angegebenen Variable auflösen
Isolieren Sie den Ausdruck, der die Variable enthält, indem Sie die entsprechende arithmetische Methode verwenden, um die Konstante auf der Seite der Variablen zu löschen. Zum Beispiel, wenn
\sqrt{x + 27} + 11 = 15
Sie würden die Variable durch Subtraktion isolieren:
\sqrt{x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Erhebe beide Seiten der Gleichung mit der Wurzel der Variablen, um die Variable von der Wurzel zu befreien. Beispielsweise,
\sqrt{x + 27} = 4 \text{ then } (\sqrt{x + 27})^2 = 4^2
was gibt dir
x + 27 = 16
Isolieren Sie die Variable, indem Sie die entsprechende arithmetische Methode verwenden, um die Konstante auf der Seite der Variablen zu löschen. Zum Beispiel, wenn
x + 27 = 16
durch Subtraktion:
x = 16 - 27 = -11
Quadratische Gleichungen lösen
Setze die Gleichung gleich Null. Zum Beispiel für die Gleichung
2x^2 - x = 1
subtrahiere 1 von beiden Seiten, um die Gleichung auf Null zu setzen
2x^2 - x - 1 = 0
Faktorisiere oder vervollständige das Quadrat des Quadrats, je nachdem, was einfacher ist. Zum Beispiel für die Gleichung
2x^2 - x - 1 = 0
es ist am einfachsten, so zu faktorisieren:
2x^2 - x - 1 = 0 \text{ wird } (2x + 1)(x - 1) = 0
Lösen Sie die Gleichung für die Variable auf. Zum Beispiel, wenn
(2x + 1)(x - 1) = 0
dann ist die Gleichung gleich Null, wenn:
2x + 1 = 0
Impliziert, dass
2x = -1 \text{, also } x = -\frac{1}{2}
oder wann
\text{wenn } x - 1 = 0\text{, erhalten Sie } x = 1
Dies sind die Lösungen der quadratischen Gleichung.
Ein Gleichungslöser für Brüche
Faktorisiere jeden Nenner. Beispielsweise,
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{x^2 - 9}
kann faktorisiert werden zu:
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
Multiplizieren Sie jede Seite der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist der Ausdruck, in den sich jeder Nenner gleichmäßig teilen kann. Für die Gleichung
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
das kleinste gemeinsame Vielfache ist (x − 3)(x+ 3). So,
(x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}\bigg) = (x - 3)(x + 3)\bigg (\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
wird
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
Bedingungen stornieren und auflösen fürx. Zum Beispiel das Aufheben von Termen für die Gleichung
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
gibt:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Führt zu
2x = 10 \text{, und } x = 5
Umgang mit Exponentialgleichungen
Isolieren Sie den Exponentialausdruck, indem Sie alle konstanten Terme löschen. Beispielsweise,
100×(14^x) + 6 = 10
wird
\begin{aligned} 100×(14^x) + 6 - 6 &= 10 - 6 \\ &= 4 \end{aligned}
Streiche den Koeffizienten der Variablen, indem du beide Seiten durch den Koeffizienten dividierst. Beispielsweise,
100×(14^x) = 4
wird
\frac{100×(14^x)}{100} = \frac{4}{100} \\ \,\\ 14^x = 0,04
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus der Gleichung, um den Exponenten zu reduzieren, der die Variable enthält. Beispielsweise,
14^x = 0,04
kann geschrieben werden als (unter Verwendung einiger Eigenschaften von Logarithmen):
\ln (14^x)= \ln (0.04) \\ x × \ln (14) = \ln\bigg(\frac{1}{25}\bigg) \\ x × \ln (14) = \ ln (1) - \ln (25) \\ x × \ln (14) = 0 - \ln (25)
Lösen Sie die Gleichung für die Variable auf. Beispielsweise,
x × \ln (14) = 0 - \ln (25) \text{ wird } x = \frac{-\ln (25)}{\ln (14)} = -1,22
Eine Lösung für logarithmische Gleichungen
Isolieren Sie den natürlichen Logarithmus der Variablen. Zum Beispiel die Gleichung
2\ln (3x) = 4 \text{ wird } \ln (3x) = \frac{4}{2} = 2
Wandeln Sie die logarithmische Gleichung in eine exponentielle Gleichung um, indem Sie den logarithmischen Wert in einen Exponenten der entsprechenden Basis erhöhen. Beispielsweise,
\ln (3x) = 2
wird:
e^{\ln (3x)}= e^2
Lösen Sie die Gleichung für die Variable auf. Beispielsweise,
e^{\ln (3x)}= e^2
wird
\frac{3x}{3} = \frac{e^2}{3} \text{ also } x = 2,46