Absolutwertgleichungen können anfangs etwas einschüchternd wirken, aber wenn Sie dabei bleiben, werden Sie sie bald leicht lösen können. Wenn Sie versuchen, Absolutwertgleichungen zu lösen, ist es hilfreich, die Bedeutung des Absolutwerts im Hinterkopf zu behalten.
Definition des Absolutwerts
DasAbsolutwerteiner Zahlx, geschrieben |x|, ist der Abstand von Null auf einer Zahlengeraden. Zum Beispiel ist –3 3 Einheiten von Null entfernt, also ist der Absolutwert von –3 3. Wir schreiben es so: | −3 | = 3.
Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken ist, dassAbsolutwertist die positive "Version" einer Zahl. Der Absolutwert von -3 ist also 3, während der Absolutwert von 9, der bereits positiv ist, 9 beträgt.
Algebraisch können wir schreiben aFormel für Absolutwertdas sieht so aus:
| x | = \begin{cases} x &\text{if } x≥ 0 \\ -x &\text{if } x ≤ 0 \end{cases}
Nehmen Sie ein Beispiel, wox= 3. Da 3 ≥ 0 ist, ist der Absolutwert von 3 3 (in Absolutwertschreibweise: | 3 | = 3).
Was wäre jetzt, wennx= −3? Es ist kleiner als null, also | −3 | = −( −3). Das Gegenteil oder "negativ" von −3 ist 3, also | −3 | = 3.
Lösen von Absolutwertgleichungen
Nun zu einigen Absolutwertgleichungen. Die allgemeinen Schritte zum Lösen einer Absolutwertgleichung sind:
Isolieren Sie den Absolutwertausdruck.
Löse die positive "Version" der Gleichung.
Lösen Sie die negative "Version" der Gleichung, indem Sie die Größe auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens mit −1 multiplizieren.
Sehen Sie sich das folgende Problem an, um ein konkretes Beispiel für die Schritte zu erhalten.
Beispiel: Lösen Sie die Gleichung nachx:
| 3 + x | - 5 = 4
Du musst | 3 +x| allein auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. Fügen Sie dazu auf beiden Seiten 5 hinzu:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Lösen fürxals wäre das Absolutwertzeichen nicht da!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Das ist ganz einfach: Ziehen Sie einfach 3 von beiden Seiten ab.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Eine Lösung der Gleichung ist also, dassx = 6.
Beginnen Sie wieder bei | 3 +x| = 9. Die Algebra im vorherigen Schritt hat gezeigt, dassxkönnte 6. sein. Da es sich jedoch um eine Absolutwertgleichung handelt, gibt es noch eine andere Möglichkeit zu berücksichtigen. In der obigen Gleichung ist der absolute Wert von "etwas" (3 +x) gleich 9. Sicher, der Absolutwert von positiver 9 ist gleich 9, aber es gibt auch hier noch eine andere Option! Der Absolutwert von -9 ist ebenfalls gleich 9. Das unbekannte "Etwas" könnte also auch gleich -9 sein.
Mit anderen Worten:
3 + x = -9
Der schnelle Weg, um zu dieser zweiten Version zu gelangen, besteht darin, die Menge auf der anderen Seite des zu multiplizieren gleich aus dem Absolutwertausdruck (9, in diesem Fall) durch −1, dann löse die Gleichung aus Dort.
So:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1) \\ 3 + x = -9
Subtrahiere 3 von beiden Seiten, um zu erhalten:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Die beiden Lösungen sind also:x= 6 oderx = −12.
Und da hast du es! Diese Art von Gleichungen erfordert Übung, also machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie anfangs Schwierigkeiten haben. Bleiben Sie dran und es wird einfacher!