Was sind reelle Zahlen?

Die reellen Zahlen sind alle Zahlen auf einem Zahlenstrahl, der sich von negativ unendlich über Null bis positiv unendlich erstreckt. Diese Konstruktion der Menge der reellen Zahlen ist nicht willkürlich, sondern das Ergebnis einer Evolution aus den zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen. Das System der natürlichen Zahlen weist mehrere Inkonsistenzen auf, und als die Berechnungen komplexer wurden, wurde das Zahlensystem erweitert, um seine Grenzen zu adressieren. Bei reellen Zahlen liefern Berechnungen konsistente Ergebnisse, und es gibt wenige Ausnahmen oder Einschränkungen, wie sie bei den primitiveren Versionen des Zahlensystems vorhanden waren.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen Zahlen auf einem Zahlenstrahl. Dazu gehören natürliche Zahlen, ganze Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen. Es enthält keine imaginären Zahlen oder komplexen Zahlen.

Closure ist die Eigenschaft einer Menge von Zahlen, das heißt, wenn zulässige Berechnungen mit Zahlen durchgeführt werden, die Mitglieder der Menge sind, werden die Antworten auch Zahlen sein, die Mitglieder der Menge sind. Die Menge soll geschlossen sein.

Natürliche Zahlen sind die zählenden Zahlen 1, 2, 3..., und die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht abgeschlossen. Da natürliche Zahlen im Handel verwendet wurden, traten sofort zwei Probleme auf. Während die natürlichen Zahlen reale Objekte zählten, zum Beispiel Kühe, gab es keine natürliche Zahl für das Ergebnis, wenn ein Bauer fünf Kühe hatte und fünf Kühe verkaufte. Frühe Zahlensysteme entwickelten sehr schnell einen Begriff für Null, um dieses Problem anzugehen. Das Ergebnis war das System der ganzen Zahlen, also die natürlichen Zahlen plus Null.

Das zweite Problem war auch mit der Subtraktion verbunden. Solange die Zahlen reale Gegenstände wie Kühe zählten, konnte der Bauer nicht mehr Kühe verkaufen, als er hatte. Aber als Zahlen abstrakt wurden, ergab das Subtrahieren größerer Zahlen von kleineren Antworten außerhalb des Systems der ganzen Zahlen. Als Ergebnis wurden ganze Zahlen eingeführt, das sind die ganzen Zahlen plus negative natürliche Zahlen. Das Zahlensystem umfasste jetzt eine vollständige Zahlenreihe, jedoch nur mit ganzen Zahlen.

Berechnungen in einem geschlossenen Zahlensystem sollen Antworten aus dem Zahlensystem für Operationen wie Addition und Multiplikation, aber auch für ihre inversen Operationen, Subtraktion und Einteilung. Das System der ganzen Zahlen ist für Addition, Subtraktion und Multiplikation geschlossen, aber nicht für Division. Wenn eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl geteilt wird, ist das Ergebnis nicht immer eine ganze Zahl.

Das Teilen einer kleinen ganzen Zahl durch eine größere ergibt einen Bruch. Solche Brüche wurden dem Zahlensystem als rationale Zahlen hinzugefügt. Rationale Zahlen werden als jede Zahl definiert, die als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. Jede beliebige Dezimalzahl kann als rationale Zahl ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist 2,864 2864/1000 und 0,89632 ist 89632/100.000. Der Zahlenstrahl schien nun vollständig zu sein.

Es gibt Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die nicht als Bruch von ganzen Zahlen ausgedrückt werden können. Einer ist das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zur Hypotenuse. Wenn zwei der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks 1 und 1 sind, ist die Hypotenuse die Quadratwurzel von 2. Die Quadratwurzel aus zwei ist eine unendliche Dezimalzahl, die sich nicht wiederholt. Solche Zahlen werden irrational genannt und umfassen alle reellen Zahlen, die nicht rational sind. Mit dieser Definition ist die Zahlengerade aller reellen Zahlen vollständig, da jede andere reelle Zahl, die nicht rational ist, in die Definition von irrational eingeschlossen ist.

Obwohl gesagt wird, dass sich die reelle Zahlengerade von negativ nach positiv unendlich erstreckt, ist die Unendlichkeit selbst nicht a reelle Zahl, sondern eher ein Konzept des Zahlensystems, das sie als eine Größe definiert, die größer ist als jede andere Nummer. Mathematisch ist unendlich die Antwort auf 1/x, wenn x null erreicht, aber die Division durch null ist nicht definiert. Wäre die Unendlichkeit eine Zahl, würde dies zu Widersprüchen führen, da die Unendlichkeit nicht den Gesetzen der Arithmetik folgt. Unendlich plus 1 ist beispielsweise immer noch unendlich.

Die Menge der reellen Zahlen ist für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division geschlossen, mit Ausnahme der Division durch Null, die nicht definiert ist. Die Menge ist nicht für mindestens eine weitere Operation geschlossen.

Die Multiplikationsregeln in der Menge der reellen Zahlen legen fest, dass die Multiplikation eines negativen und a positive Zahl ergibt eine negative Zahl, während die Multiplikation positiver oder negativer Zahlen positive ergibt Antworten. Dies bedeutet, dass der Sonderfall der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst eine positive Zahl sowohl für positive als auch für negative Zahlen ergibt. Die Umkehrung dieses Sonderfalls ist die Quadratwurzel einer positiven Zahl, die sowohl eine positive als auch eine negative Antwort liefert. Für die Quadratwurzel einer negativen Zahl gibt es in der Menge der reellen Zahlen keine Antwort.

Das Konzept der Menge imaginärer Zahlen befasst sich mit der Frage der negativen Quadratwurzeln in den reellen Zahlen. Die Quadratwurzel von minus 1 ist als i definiert und alle imaginären Zahlen sind Vielfache von i. Um die Zahlentheorie zu vervollständigen, wird die Menge der komplexen Zahlen so definiert, dass sie alle reellen und alle imaginären Zahlen umfasst. Reale Zahlen können weiterhin auf einem horizontalen Zahlenstrahl visualisiert werden, während imaginäre Zahlen ein vertikaler Zahlenstrahl sind, wobei sich die beiden bei Null schneiden. Komplexe Zahlen sind Punkte in der Ebene der beiden Zahlengeraden mit jeweils einem Real- und einem Imaginärteil.