Rationale Ausdrücke und rationale Exponenten sind beides grundlegende mathematische Konstrukte, die in einer Vielzahl von Situationen verwendet werden. Beide Arten von Ausdrücken können sowohl grafisch als auch symbolisch dargestellt werden. Die allgemeinste Ähnlichkeit zwischen den beiden ist ihre Form. Ein rationaler Ausdruck und ein rationaler Exponent haben beide die Form eines Bruchs. Ihr allgemeinster Unterschied besteht darin, dass ein rationaler Ausdruck aus einem polynomiellen Zähler und Nenner besteht. Ein rationaler Exponent kann ein rationaler Ausdruck oder ein konstanter Bruch sein.
Rationale Ausdrücke
Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch, bei dem mindestens ein Term ein Polynom der Form ax² + bx + c ist, wobei a, b und c konstante Koeffizienten sind. In den Wissenschaften werden rationale Ausdrücke als vereinfachte Modelle komplexer Gleichungen verwendet, um Ergebnisse leichter anzunähern, ohne zeitaufwendige komplexe Mathematik zu erfordern. Rationale Ausdrücke werden häufig verwendet, um Phänomene in Sounddesign, Fotografie, Aerodynamik, Chemie und Physik zu beschreiben. Im Gegensatz zu rationalen Exponenten ist ein rationaler Ausdruck ein vollständiger Ausdruck, nicht nur eine Komponente.
Graphen rationaler Ausdrücke
Die Graphen der meisten rationalen Ausdrücke sind diskontinuierlich, dh sie enthalten eine vertikale Asymptote bei bestimmten Werten von x, die nicht zum Bereich des Ausdrucks gehören. Dadurch wird der Graph effektiv in einen oder mehrere Abschnitte aufgeteilt, die durch die Asymptote geteilt werden. Diese Diskontinuitäten werden durch Werte von x verursacht, die zu einer Division durch Null führen. Zum Beispiel für den rationalen Ausdruck 1 / (x - 1)(x + 2) liegen Unstetigkeiten bei 1 und -2, da bei diesen Werten der Nenner gleich Null ist.
Rationale Zahlenexponenten
Ein Ausdruck mit einem rationalen Exponenten ist einfach ein Ausdruck, der mit einem Bruch potenziert wird. Terme mit rationalen Exponenten sind äquivalent zu Wurzelausdrücken mit dem Grad des Nenners des Exponenten. Die Kubikwurzel von 3 entspricht beispielsweise 3^(1/3). Der Zähler des rationalen Exponenten entspricht in seiner radikalischen Form der Potenz der Basiszahl. Beispielsweise entspricht 5^(4/5) der fünften Wurzel von 5^4. Ein negativer rationaler Exponent zeigt den Kehrwert der Radikalform an. Beispiel: 5^(-4/5) = 1/5^(4/5).
Graphen von rationalen Exponenten
Graphen mit rationalen Exponenten sind überall stetig, außer im Punkt x / 0, wo x eine beliebige reelle Zahl ist, da die Division durch Null undefiniert ist. Die Graphen von Termen mit rationalen Exponenten sind horizontale Linien, da der Wert des Ausdrucks konstant ist. Zum Beispiel ändert 7^(1/2) = sqrt (7) nie Werte. Im Gegensatz zu rationalen Ausdrücken sind Graphen von Termen mit rationalen Exponenten immer stetig.