Das Lösen von Polynomfunktionen ist eine Schlüsselkompetenz für jeden, der Mathematik oder Physik studiert, aber den Prozess in den Griff zu bekommen – insbesondere wenn es um Funktionen höherer Ordnung geht – kann ziemlich schwierig sein. Eine kubische Funktion ist eine der schwierigsten Arten von Polynomgleichungen, die Sie möglicherweise von Hand lösen müssen. Obwohl es vielleicht nicht so einfach ist wie das Lösen einer quadratischen Gleichung, gibt es ein paar Methoden können Sie verwenden, um die Lösung einer kubischen Gleichung zu finden, ohne auf Seiten um Seiten mit detaillierten Algebra.
Was ist eine kubische Funktion?
Eine kubische Funktion ist ein Polynom dritten Grades. Eine allgemeine Polynomfunktion hat die Form:
f (x) = ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
Hier, x ist die Variable, nein ist einfach eine beliebige Zahl (und der Grad des Polynoms), k ist eine Konstante und die anderen Buchstaben sind konstante Koeffizienten für jede Potenz von x. Eine kubische Funktion hat also nein = 3, und ist einfach:
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Wobei in diesem Fall d ist die Konstante. Im Allgemeinen, wenn Sie eine kubische Gleichung lösen müssen, wird Ihnen diese in der Form präsentiert:
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Jede Lösung für x heißt „Wurzel“ der Gleichung. Kubische Gleichungen haben entweder eine reelle Wurzel oder drei, obwohl sie wiederholt werden können, aber es gibt immer mindestens eine Lösung.
Der Gleichungstyp wird durch die höchste Potenz definiert, im obigen Beispiel wäre es also keine kubische Gleichung, wenn a = 0, denn der höchste Potenzterm wäre power bx2 und es wäre eine quadratische Gleichung. Dies bedeutet, dass die folgenden alle kubischen Gleichungen sind:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
Lösen mit dem Faktorsatz und der synthetischen Division
Der einfachste Weg, eine kubische Gleichung zu lösen, erfordert ein wenig Rätselraten und einen algorithmischen Prozess, der als synthetische Division bezeichnet wird. Der Anfang ist jedoch im Grunde der gleiche wie beim Trial-and-Error-Verfahren für kubische Gleichungslösungen. Versuchen Sie herauszufinden, was eine der Wurzeln ist, indem Sie erraten. Wenn Sie eine Gleichung haben, bei der der erste Koeffizient ein, gleich 1, dann ist es etwas einfacher, eine der Wurzeln zu erraten, da es sich immer um Faktoren des konstanten Termes handelt, der oben durch dargestellt wird d.
Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Gleichung:
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
Sie müssen einen der Werte für erraten x, aber seit ein = 1 in diesem Fall wissen Sie, dass unabhängig vom Wert der Faktor 24 sein muss. Der erste solcher Faktor ist 1, aber das würde verlassen:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Was nicht Null ist, und −1 würde verlassen:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Was wiederum nicht Null ist. Nächster, x = 2 würde ergeben:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Ein weiterer Fehler. Versuchen x = −2 ergibt:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Das heisst x = −2 ist eine Wurzel der kubischen Gleichung. Dies zeigt die Vor- und Nachteile der Trial-and-Error-Methode: Sie erhalten die Antwort ohne viel dachte, aber es ist zeitaufwändig (besonders wenn Sie zu höheren Faktoren gehen müssen, bevor Sie eine Wurzel finden). Glücklicherweise können Sie den Rest der Gleichung leicht lösen, wenn Sie eine Wurzel gefunden haben.
Der Schlüssel ist die Einbeziehung des Faktorsatzes. Dies besagt, dass wenn x = s eine Lösung ist, dann (x – so) ist ein Faktor, der aus der Gleichung herausgezogen werden kann. Für diese Situation, so = −2, und so (x + 2) ist ein Faktor, den wir herausziehen können, um zu gehen:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
Die Terme in der zweiten Klammergruppe haben die Form einer quadratischen Gleichung. Wenn Sie also die passenden Werte für ein und b, kann die Gleichung gelöst werden.
Dies kann durch synthetische Teilung erreicht werden. Schreiben Sie zuerst die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichung in die oberste Zeile einer Tabelle mit einer Trennlinie und dann rechts die bekannte Wurzel:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
Lassen Sie eine freie Zeile und fügen Sie darunter eine horizontale Linie hinzu. Nehmen Sie zuerst die erste Zahl (in diesem Fall 1) in die Zeile unter Ihrer horizontalen Linie
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array }
Jetzt multiplizieren Sie die Zahl, die Sie gerade heruntergebracht haben, mit der bekannten Wurzel. In diesem Fall ist 1 × −2 = −2, und dies wird wie folgt unter die nächste Zahl in der Liste geschrieben:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {Anordnung}
Fügen Sie dann die Zahlen in der zweiten Spalte hinzu und schreiben Sie das Ergebnis unter die horizontale Linie:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{array}
Wiederholen Sie nun den Vorgang, den Sie gerade durchlaufen haben, mit der neuen Zahl unterhalb der horizontalen Linie: Multiplizieren Sie mit root, fügen Sie die Antwort in das leere Feld in der nächsten Spalte ein und fügen Sie dann die Spalte hinzu, um eine neue Zahl auf der zu erhalten untere Reihe. Diese Blätter:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{array}
Und dann gehen Sie den Prozess ein letztes Mal durch.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{array}
Die Tatsache, dass die letzte Antwort Null ist, sagt Ihnen, dass Sie eine gültige Wurzel haben. Wenn diese also nicht Null ist, haben Sie irgendwo einen Fehler gemacht.
Die untere Zeile gibt Ihnen nun die Faktoren der drei Terme in der zweiten Klammer, sodass Sie schreiben können:
(x^2 − 7x + 12) = 0
Und so:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
Dies ist die wichtigste Phase der Lösung, und Sie können von diesem Punkt an auf viele Arten abschließen.
Faktorisieren von kubischen Polynomen
Nachdem Sie einen Faktor entfernt haben, können Sie mithilfe der Faktorisierung eine Lösung finden. Aus dem obigen Schritt ist dies im Grunde das gleiche Problem wie das Faktorisieren einer quadratischen Gleichung, was in einigen Fällen eine Herausforderung darstellen kann. Aber für den Ausdruck:
(x^2 − 7x + 12)
Wenn Sie sich daran erinnern, dass die beiden Zahlen, die Sie in die Klammern gesetzt haben, addiert werden müssen, um den zweiten Koeffizienten (7) zu ergeben, und multiplizieren, um den dritten Koeffizienten (12) zu erhalten, ist dies in diesem Fall ziemlich einfach zu erkennen:
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Sie können dies zur Überprüfung multiplizieren, wenn Sie möchten. Lassen Sie sich nicht entmutigen, wenn Sie die Faktorisierung nicht sofort sehen können; es braucht ein wenig Übung. Damit bleibt die ursprüngliche Gleichung wie folgt:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Was Sie sofort sehen können, hat Lösungen unter x = −2, 3 und 4 (alle Faktoren von 24, der ursprünglichen Konstante). Theoretisch ist es auch möglich, die gesamte Faktorisierung ausgehend von der ursprünglichen Version der Gleichung zu sehen, aber das ist viel schwieriger, daher ist es besser, eine Lösung aus Versuch und Irrtum zu finden und den oben genannten Ansatz zu verwenden, bevor Sie versuchen, eine spot Faktorisierung.
Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Faktorisierung zu sehen, können Sie die quadratische Gleichungsformel verwenden:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\above{1pt}2a}
Um die restlichen Lösungen zu finden.
Verwenden der kubischen Formel
Obwohl es viel größer und weniger einfach zu handhaben ist, gibt es einen einfachen kubischen Gleichungslöser in Form der kubischen Formel. Dies ist wie die quadratische Gleichungsformel, in der Sie einfach Ihre Werte von eingeben ein, b, c und d eine Lösung zu bekommen, ist aber einfach viel länger.
Es sagt, dass:
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q − [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
wo
p = {−b \above{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \above{1pt}6a^2}
und
r = {c \above{1pt}3a}
Die Verwendung dieser Formel ist zeitaufwändig, aber wenn Sie nicht die Trial-and-Error-Methode für kubische Gleichungslösungen und dann die quadratische Formel verwenden möchten, funktioniert dies, wenn Sie alles durchgehen.