Ein Streudiagramm ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen zwei Datensätzen zeigt. Manchmal ist es hilfreich, die in einem Streudiagramm enthaltenen Daten zu verwenden, um eine mathematische Beziehung zwischen zwei Variablen zu erhalten. Die Gleichung eines Streudiagramms kann von Hand erhalten werden, indem man eine von zwei Hauptmethoden verwendet: eine grafische Technik oder eine Technik, die als lineare Regression bezeichnet wird.
Erstellen eines Streudiagramms
Verwenden Sie Millimeterpapier, um ein Streudiagramm zu erstellen. Zeichnen Sie die x- und ja- Achsen, stellen Sie sicher, dass sie sich schneiden und beschriften Sie den Ursprung. Stellen Sie sicher, dass die x- und ja- Achsen haben auch korrekte Titel. Zeichnen Sie als Nächstes jeden Datenpunkt innerhalb des Diagramms. Alle Trends zwischen den gezeichneten Datensätzen sollten jetzt offensichtlich sein.
Linie der besten Passform
Nachdem ein Streudiagramm erstellt wurde, können wir unter der Annahme, dass zwischen zwei Datensätzen eine lineare Korrelation besteht, eine grafische Methode verwenden, um die Gleichung zu erhalten. Nehmen Sie ein Lineal und ziehen Sie eine Linie so nah wie möglich an alle Punkte. Stellen Sie sicher, dass sich über der Linie genauso viele Punkte wie unter der Linie befinden. Nachdem die Linie gezeichnet wurde, verwenden Sie Standardmethoden, um die Gleichung der Geraden zu finden
Gleichung der Geraden
Sobald eine Linie der besten Anpassung auf einem Streudiagramm platziert wurde, ist es einfach, die Gleichung zu finden. Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet:
y = mx + c
Wo ich ist die Steigung (Gradient) der Geraden und c ist der ja-abfangen. Um den Gradienten zu erhalten, suchen Sie zwei Punkte auf der Linie. Nehmen wir für dieses Beispiel an, dass die beiden Punkte (1,3) und (0,1) sind. Der Gradient kann berechnet werden, indem man die Differenz der y-Koordinaten nimmt und durch die Differenz der. dividiert x-Koordinaten:
m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2
Die Steigung ist in diesem Fall gleich 2. Bisher lautet die Geradengleichung
y = 2x + c
Der Wert für c kann durch Einsetzen der Werte für einen bekannten Punkt erhalten werden. Dem Beispiel folgend ist einer der bekannten Punkte (1,3). Setze dies in die Gleichung ein und ordne sie neu für c:
3 = (2 × 1) + c \\ c = 3 - 2 = 1
Die letzte Gleichung lautet in diesem Fall:
y = 2x + 1
Lineare Regression
Die lineare Regression ist eine mathematische Methode, die verwendet werden kann, um die geradlinige Gleichung eines Streudiagramms zu erhalten. Beginnen Sie damit, Ihre Daten in eine Tabelle einzufügen. Nehmen wir für dieses Beispiel an, dass wir die folgenden Daten haben:
(4.1, 2.2) (6.5, 4.5) (12.6, 10.4)
Berechnen Sie die Summe der x-Werte:
x_{Summe} = 4,1 + 6,5 + 12,6 = 23,2
Berechnen Sie als Nächstes die Summe der y-Werte:
y_{Summe} = 2,2 + 4,4 + 10,4 = 17
Summiere nun die Produkte jedes Datenpunktsatzes:
xy_{Summe} = (4,1 × 2,2) + (6,5 × 4,4) + (12,6 × 10,4) = 168,66
Berechnen Sie als Nächstes die Summe der x-Werte zum Quadrat und der y-Werte zum Quadrat:
x^2_{Summe} = (4,1^2) + (6,5^2) + (12,6^2) = 217,82
y^2_{Summe} = (2,2^2) + (4,5^2) + (10.4^2) = 133,25
Zählen Sie schließlich die Anzahl der Datenpunkte, die Sie haben. In diesem Fall haben wir drei Datenpunkte (N=3). Die Steigung für die Best-Fit-Linie erhält man aus:
m = \frac{(N × xy_{Summe}) - (x_{Summe} × y_{Summe})}{(N × x^2_{Summe}) - (x_{Summe} × x_{Summe})} \\ \, \\ = \frac{(3 × 168,66) – (23,2 × 17)}{(3 × 217,82) – (23,2 × 23,2)} \\ \, \\ = 0,968
Den Schnittpunkt für die am besten geeignete Linie erhalten Sie von:
\begin{aligned} c &= \frac{(x^2_{sum} × y_{sum} ) - (x_{sum} × xy_{sum})}{(N × x^2_{sum}) - ( x_{sum} × x_{sum})} \\ \,\\ &= \frac{ (217,82 × 17) - (23,2 × 168.66)}{(3 × 217,82) - (23,2 × 23,2)} \\ \,\\ &= & -1,82 \end{ausgerichtet}
Die endgültige Gleichung lautet daher:
y = 0,968x - 1,82