Arten von Algebra-Gleichungen

Es gibt fünf Haupttypen von algebraischen Gleichungen, die sich durch die Position der Variablen, die Typen der verwendeten Operatoren und Funktionen und das Verhalten ihrer Graphen unterscheiden. Jeder Gleichungstyp hat eine andere erwartete Eingabe und erzeugt eine Ausgabe mit einer anderen Interpretation. Die Unterschiede und Ähnlichkeiten zwischen den fünf Typen algebraischer Gleichungen und ihre Verwendung zeigen die Vielfalt und Leistungsfähigkeit algebraischer Operationen.

Monome und Polynome sind Gleichungen, die aus variablen Termen mit ganzzahligen Exponenten bestehen. Polynome werden nach der Anzahl der Terme im Ausdruck klassifiziert: Monome haben einen Term, Binome haben zwei Terme, Trinome haben drei Terme. Jeder Ausdruck mit mehr als einem Term wird als Polynom bezeichnet. Polynome werden auch nach Grad klassifiziert, der die Zahl des höchsten Exponenten im Ausdruck ist. Polynome mit Grad eins, zwei und drei werden als lineare, quadratische bzw. kubische Polynome bezeichnet. Die Gleichung x^2 - x - 3 wird als quadratisches Trinom bezeichnet. Quadratische Gleichungen werden häufig in Algebra I und II angetroffen; ihre als Parabel bekannte Kurve beschreibt den Bogen, der von einem in die Luft abgefeuerten Projektil verfolgt wird.

Exponentielle Gleichungen unterscheiden sich von Polynomen dadurch, dass sie variable Terme in den Exponenten haben. Ein Beispiel für eine Exponentialgleichung ist y = 3^(x - 4) + 6. Exponentielle Funktionen werden als exponentielles Wachstum klassifiziert, wenn die unabhängige Variable einen positiven Koeffizienten hat, und als exponentielles Abklingen, wenn sie einen negativen Koeffizienten hat. Exponentielle Wachstumsgleichungen werden verwendet, um die Ausbreitung von Bevölkerungen und Krankheiten zu beschreiben, sowie Finanzkonzepte wie Zinseszins (die Formel für den Zinseszins ist Pe^(rt), wobei P der Kapitalbetrag, r der Zinssatz und t der Betrag ist von Zeit). Exponentielle Zerfallsgleichungen beschreiben Phänomene wie den radioaktiven Zerfall.

Logarithmische Funktionen sind die Umkehrung von Exponentialfunktionen. Für die Gleichung y = 2^x lautet die Umkehrfunktion y = log2 x. Die logarithmische Basis b einer Zahl x ist gleich dem Exponenten, um den Sie b erhöhen müssen, um die Zahl x zu erhalten. Zum Beispiel ist der log2 von 16 4, weil 2 hoch 4 16 ist. Als logarithmische Basis wird am häufigsten die transzendente Zahl "e" verwendet; die Logarithmusbasis e wird häufig als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Logarithmische Gleichungen werden in vielen Arten von Intensitätsskalen verwendet, wie der Richterskala für Erdbeben und der Dezibelskala für die Schallintensität. Die Dezibelskala verwendet eine logarithmische Basis 10, was bedeutet, dass eine Erhöhung um ein Dezibel einer zehnfachen Erhöhung der Schallintensität entspricht.

Rationale Gleichungen sind algebraische Gleichungen der Form p (x) / q (x), wobei p (x) und q (x) beide Polynome sind. Ein Beispiel für eine rationale Gleichung ist (x - 4) / (x^2 - 5x + 4). Rationale Gleichungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie Asymptoten haben, bei denen es sich um Werte von y und x handelt, die sich der Graph der Gleichung nähert, aber nie erreicht. Eine vertikale Asymptote einer rationalen Gleichung ist ein x-Wert, den der Graph nie erreicht – der y-Wert geht entweder ins Positive oder ins Negative, wenn sich der Wert von x der Asymptote nähert. Eine horizontale Asymptote ist ein y-Wert, dem sich der Graph nähert, wenn x positiv oder negativ unendlich wird.

Trigonometrische Gleichungen enthalten die trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan, sec, csc und cot. Trigonometrische Funktionen beschreiben das Verhältnis zwischen zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei das Winkelmaß als Eingangsgröße oder unabhängige Variable und das Verhältnis als Ausgangsgröße oder abhängige Variable verwendet wird. Zum Beispiel beschreibt y = sin x das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu seiner Hypotenuse für einen Winkel vom Maß x. Trigonometrische Funktionen unterscheiden sich dadurch, dass sie periodisch sind, was bedeutet, dass sich der Graph nach einer bestimmten Zeit wiederholt. Der Graph einer Standard-Sinuswelle hat eine Periode von 360 Grad.