In der Mathematik ist eine Funktion ein Prozess, den Sie auf eine unabhängige Variable anwendenxum die abhängige Variable zu erhaltenja. Wenn Sie daran denken, dass Sie „von“xbei dir ankommenja, eine Umkehrfunktion geht den umgekehrten Weg, vom Ergebnis zurück zum ursprünglichen Wert. In gewisser Weise ist eine inverse Funktion das Gegenteil des Originals und macht den Prozess rückgängig.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Eine Umkehrung einer mathematischen Funktion vertauscht die Rollen vonjaundxin der ursprünglichen Funktion.
Funktionen und Umkehrungen
Mathematiker definieren eine Funktion als einen Prozess oder eine Regel, die die geordneten Paare einer Menge erzeugt. Sie können sich das erste Mitglied des Paares als dasxder Funktion und das zweite Glied alsja. In einer wahren Funktion hat der erste Wert nur einen Lösungswert, der dazu gehört. Also jederxWert hat nur einen entsprechendenjaWert. Also, die Gleichung für die horizontale Linie,ja= 1 ist eine Funktion, aber die vertikale Linie,x= 1 ist nicht.
Zeichnen Sie ein Diagramm
Der Graph einer Funktion und ihre Inverse sind Spiegelungen einer anderen, mit einer Linie, die darstelltja = xals "Spiegel" fungieren. Um ein Beispiel zu nehmen, der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion, ln(x), beginnt bei negativ unendlich amjaAchse und rechts von Null auf derxAchse. Von dort überquert es diexAchse am Punkt (1,0) und hat eine leicht ansteigende Kurve über diexAchse. Ihre Umkehrung, die natürliche Exponentenfunktion exp(x), hat diex-Achse als ihre Asymptote, beginnend bei negativ unendlich auf derxAchse, direkt darüber. Es überquert diejaAchse bei (0,1) und krümmt sich stark nach oben. Zeichne die beiden Funktionen in einen Graphen und zeichne dann die Linieja = x, und Sie werden sehen, dass exp(x) und ln(x) spiegeln sich gegenseitig.
Sinus und Cosinus
Obwohl die Sinus- und Kosinusfunktionen verwandt sind, ist die eine nicht die Umkehrung der anderen. Die Sinus- und Cosinusfunktionen erzeugen ähnliche grafische Ergebnisse, obwohl der Cosinus dem Sinus um 90 Grad "voreilt". Der Kosinus ist auch die Ableitung des Sinus. Die Umkehrung der Sinusfunktion ist jedoch der Arkussinus und die Umkehrung des Kosinus ist der Arkuskosinus.
Finden einer Umkehrfunktion
Es ist relativ einfach, die Umkehrung vieler Funktionen zu finden: Vertauschen Sie die „ja" und "x” in die Gleichung ein und löse dann nachja. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung
y = 2x + 4
Tausche y gegenxgibt
x = 2y + 4
Subtrahiere 4 von beiden Seiten, um zu erhalten
x - 4 = 2y
und dann beide Seiten durch 2 teilen, um zu erhalten
\frac{x}{2} - 2 = y
das ist die Umkehrfunktion.
Inverse Nicht-Funktionen
Nicht alle Umkehrfunktionen von Funktionen sind auch Funktionen. Denken Sie daran, dass die Definition von Funktionen besagt, dass jedesxhat nur einenjaWert. Obwohl Arkussinus die Umkehrung der Sinusfunktion ist, ist Arkussinus technisch gesehen keine Funktion, daxWerte haben unendlich viele entsprechendejaWerte. Es stimmt auch mit
y = x^2 \text{ und } y = \sqrt{x}
die erste ist eine Funktion und die zweite ist ihre Umkehrung, aber die Quadratwurzel ergibt zwei entsprechendejaWerte, positiv und negativ, was es zu keiner echten Funktion macht.
