Eine Binomialverteilung beschreibt eine Variable X wenn 1) es eine feste Zahl gibt nein Beobachtungen der Variablen; 2) alle Beobachtungen sind unabhängig voneinander; 3) die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist für jede Beobachtung gleich; und 4) jede Beobachtung repräsentiert eines von genau zwei möglichen Ergebnissen (daher das Wort „binomial“ – denken Sie „binär“). Diese letzte Qualifikation unterscheidet Binomialverteilungen von Poisson-Verteilungen, die nicht diskret, sondern kontinuierlich variieren.
Eine solche Verteilung kann geschrieben werden B(nein, p).
Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Beobachtung
Sag einen Wert k liegt irgendwo entlang des Graphen der Binomialverteilung, der symmetrisch zum Mittelwert ist np. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Beobachtung diesen Wert hat, muss diese Gleichung gelöst werden:
P(X = k) = (n: k) p^k (1-p)^{n-k}
wo
(n: k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
Das "!" bedeutet eine Fakultätsfunktion, z. B. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Beispiel
Angenommen, ein Basketballspieler führt 24 Freiwürfe aus und hat eine etablierte Erfolgsquote von 75 Prozent (p = 0.75). Wie stehen die Chancen, dass sie genau 20 ihrer 24 Schüsse trifft?
Berechne zuerst (nein: k) wie folgt:
\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{24!}{ (20!)(4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75^{20} = 0,00317
(1-p)^{n-k} = (0,25)^4 = 0,00390
So
P(20) = 10.626×0,00317×0,00390 = 0,1314
Dieser Spieler hat daher eine Chance von 13,1 Prozent, genau 20 von 24 Freiwürfen zu machen, was der Intuition entspricht über eine Spielerin vermuten, die normalerweise 18 von 24 Freiwürfen treffen würde (aufgrund ihrer etablierten Erfolgsquote von 75 Prozent).