Jeder, der jemals Billard gespielt hat, kennt das Gesetz der Impulserhaltung, ob er es erkennt oder nicht.
Das Impulserhaltungsgesetz ist grundlegend für das Verständnis und die Vorhersage dessen, was passiert, wenn Objekte interagieren oder kollidieren. Dieses Gesetz sagt die Bewegungen von Billardkugeln voraus und entscheidet, ob diese acht Kugeln in die Ecktasche gelangen oder nicht.
Was ist Momentum?
Der Impuls ist definiert als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eines Objekts. In Gleichungsform wird dies oft geschrieben alsp = mv.
Es ist eine Vektorgröße, was bedeutet, dass ihr eine Richtung zugeordnet ist. Die Richtung des Impulsvektors eines Objekts ist dieselbe Richtung wie sein Geschwindigkeitsvektor.
Der Impuls eines isolierten Systems ist die Summe der Impulse jedes einzelnen Objekts in diesem System. Ein isoliertes System ist ein System interagierender Objekte, die in keiner Weise mit irgendetwas anderem interagieren. Mit anderen Worten, es wirkt keine externe Nettokraft auf das System.
Die Untersuchung des Gesamtimpulses in einem isolierten System ist wichtig, da Sie damit Vorhersagen darüber treffen können, was mit den Objekten im System bei Kollisionen und Interaktionen passieren wird.
Was sind Naturschutzgesetze?
Bevor Sie sich mit dem Impulserhaltungssatz befassen, ist es wichtig zu verstehen, was mit einer „erhaltenen Größe“ gemeint ist.
Etwas zu konservieren bedeutet, die Verschwendung oder den Verlust in irgendeiner Weise zu verhindern. In der Physik heißt eine Größe erhalten, wenn sie konstant bleibt. Vielleicht haben Sie den Ausdruck gehört, der sich auf die Erhaltung von Energie bezieht, dh die Vorstellung, dass Energie weder erzeugt noch zerstört werden kann, sondern nur die Form ändert. Daher bleibt die Gesamtmenge davon konstant.
Wenn wir von Impulserhaltung sprechen, sprechen wir davon, dass der Gesamtimpuls konstant bleibt. Dieser Impuls kann innerhalb eines isolierten Systems von einem Objekt auf ein anderes übertragen werden und gilt dennoch als erhalten, wenn sich der Gesamtimpuls in diesem System nicht ändert.
Newtons zweites Bewegungsgesetz und das Impulserhaltungsgesetz
Der Impulserhaltungssatz lässt sich aus dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz ableiten. Denken Sie daran, dass dieses Gesetz die Nettokraft, Masse und Beschleunigung eines Objekts alsFNetz = ma.
Der Trick besteht darin, sich diese Nettokraft als auf ein System als Ganzes wirkend vorzustellen. Der Impulserhaltungssatz gilt, wenn die Nettokraft auf das System 0 ist. Dies bedeutet, dass für jedes Objekt im System die einzigen Kräfte, die auf es ausgeübt werden dürfen, von anderen Objekten innerhalb des Systems ausgehen oder sich irgendwie aufheben müssen.
Äußere Kräfte können Reibung, Schwerkraft oder Luftwiderstand sein. Diese müssen entweder nicht wirken oder ihnen muss entgegengewirkt werden, damit die Nettokraft auf das System 0 wird.
Sie können die Ableitung mit der Anweisung beginnenFNetz = ma = 0.
Dasichin diesem Fall ist die Masse des gesamten Systems. Die fragliche Beschleunigung ist die Nettobeschleunigung des Systems, die sich auf die Beschleunigung bezieht des Massenmittelpunkts des Systems (der Massenmittelpunkt ist die durchschnittliche Lage des Gesamtsystems Masse.)
Damit die Nettokraft 0 ist, muss auch die Beschleunigung 0 sein. Da die Beschleunigung die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist, bedeutet dies, dass sich die Geschwindigkeit nicht ändern darf. Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit ist konstant. Daher erhalten wir die Aussage, dassmvcm= konstant.
Wovcmist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, gegeben durch die Formel:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
Nun reduziert sich die Aussage auf:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \text{konstante}
Dies ist die Gleichung, die die Impulserhaltung beschreibt. Jeder Term ist der Impuls eines der Objekte im System, und die Summe aller Impulse muss konstant sein. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist die Angabe:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
Wo das tiefgestellteichbezieht sich auf Anfangswerte undfauf endgültige Werte, die normalerweise vor und dann nach einer Art von Interaktion auftreten, z. B. einer Kollision zwischen Objekten in einem System.
Elastische und unelastische Kollisionen
Der Impulserhaltungssatz ist deshalb so wichtig, weil er es Ihnen ermöglicht, nach an. aufzulösen unbekannte Endgeschwindigkeit oder ähnliches für Objekte in einem isolierten System, die mit jedem kollidieren könnten andere.
Es gibt zwei Hauptwege, auf denen eine solche Kollision auftreten kann: elastisch oder unelastisch.
Eine perfekt elastische Kollision ist eine Kollision, bei der kollidierende Objekte voneinander abprallen. Diese Art der Kollision ist durch die Erhaltung der kinetischen Energie gekennzeichnet. Die kinetische Energie eines Objekts ergibt sich aus der Formel:
KE = \frac{1}{2}mv^2
Bei Erhaltung der kinetischen Energie muss die Summe der kinetischen Energien aller Objekte im System sowohl vor als auch nach Kollisionen konstant bleiben. Durch die Verwendung der Erhaltung der kinetischen Energie zusammen mit der Impulserhaltung können Sie in einem kollidierenden System nach mehr als einer End- oder Anfangsgeschwindigkeit auflösen.
Eine vollkommen unelastische Kollision ist eine Kollision, bei der zwei Objekte kollidieren, aneinander haften und sich danach als singuläre Masse bewegen. Dies kann auch ein Problem vereinfachen, da Sie nur eine Endgeschwindigkeit anstelle von zwei bestimmen müssen.
Während bei beiden Stoßarten der Impuls erhalten bleibt, bleibt die kinetische Energie nur bei einem elastischen Stoß erhalten. Die meisten Kollisionen im wirklichen Leben sind weder perfekt elastisch noch perfekt unelastisch, sondern liegen irgendwo dazwischen.
Erhaltung des Drehimpulses
Was im vorigen Abschnitt beschrieben wurde, ist Impulserhaltung. Es gibt eine andere Art von Impuls, die für Drehbewegungen gilt, die als Drehimpuls bezeichnet wird.
Wie beim Linearimpuls bleibt auch der Drehimpuls erhalten. Der Drehimpuls hängt von der Masse eines Objekts sowie davon ab, wie weit diese Masse von einer Drehachse entfernt ist.
Wenn sich ein Eiskunstläufer dreht, werden Sie sehen, wie er sich schneller dreht, wenn er seine Arme näher an seinen Körper bringt. Dies liegt daran, dass ihr Drehimpuls nur dann erhalten bleibt, wenn ihre Rotationsgeschwindigkeit proportional zur Annäherung der Arme an ihr Zentrum steigt.
Beispiele für Impulserhaltungsprobleme
Beispiel 1:Zwei Billardkugeln gleicher Masse rollen aufeinander zu. Einer fährt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 2 m/s und der andere fährt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s. Wenn ihre Kollision vollkommen elastisch ist, wie groß ist die Endgeschwindigkeit jeder Kugel?
Lösung 1:Bei der Lösung dieses Problems ist es wichtig, ein Koordinatensystem zu wählen. Da sich alles in einer geraden Linie abspielt, können Sie entscheiden, dass eine Bewegung nach rechts positiv und eine Bewegung nach links negativ ist. Angenommen, der erste Ball fliegt mit 2 m/s nach rechts. Die Geschwindigkeit der zweiten Kugel beträgt dann -4m/s.
Schreiben Sie einen Ausdruck für den Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß sowie die gesamte kinetische Energie des Systems vor dem Stoß:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
Geben Sie Werte ein, um für jeden einen Ausdruck zu erhalten:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
Beachten Sie, dass, da Sie keine Werte für die Massen erhalten haben, diese unbekannt bleiben, obwohl beide Massen gleich waren, was eine gewisse Vereinfachung ermöglichte.
Nach der Kollision lauten die Ausdrücke für Impuls und kinetische Energie:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
Indem Sie die Anfangswerte jeweils mit den Endwerten gleichsetzen, können Sie die Massen aufheben. Sie haben dann ein System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \impliziert v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \impliziert v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
Die algebraische Lösung des Systems liefert folgende Lösungen:
v_{if} = -4 \text{ m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
Sie werden feststellen, dass die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln im Wesentlichen ausgetauscht wurden, da die beiden Kugeln die gleiche Masse hatten.
Beispiel 2:Ein 1.200 kg schweres Auto, das mit 20 Meilen pro Stunde nach Osten fährt, kollidiert frontal mit einem 3.000 kg schweren Lastwagen, der mit 24 Meilen pro Stunde nach Westen fährt. Die beiden Fahrzeuge kleben bei einer Kollision zusammen. Mit welcher Endgeschwindigkeit bewegen sie sich?
Lösung 2:Eine Sache, die bei diesem speziellen Problem zu beachten ist, sind die Einheiten. Die SI-Einheiten für den Impuls sind kg⋅m/s. Sie erhalten jedoch Masse in kg und Geschwindigkeiten in Meilen pro Stunde. Beachten Sie, dass keine Umrechnung erforderlich ist, solange alle Geschwindigkeiten in konsistenten Einheiten angegeben sind. Wenn Sie nach der Endgeschwindigkeit auflösen, ist Ihre Antwort in Meilen pro Stunde.
Der Anfangsimpuls des Systems kann wie folgt ausgedrückt werden:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21.000 \text{ kg}\times\text{mph}
Der Endimpuls des Systems kann wie folgt ausgedrückt werden:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Der Impulserhaltungssatz besagt, dass diese Anfangs- und Endwerte gleich sein sollten. Sie können nach der Endgeschwindigkeit auflösen, indem Sie den Anfangsimpuls gleich dem Endimpuls setzen und wie folgt nach der Endgeschwindigkeit auflösen:
4200v_f = -21.000 \impliziert v_f = \frac{-21000}{4200} = -5 \text{ mph}
Beispiel 3:Zeigen Sie, dass die kinetische Energie in der vorherigen Frage zur inelastischen Kollision zwischen Pkw und Lkw nicht erhalten war.
Lösung 3:Die anfängliche kinetische Energie dieses Systems war:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557.500 \text{kg (mph)}^2
Die endgültige kinetische Energie des Systems war:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52.500 \text{ kg (mph)}^2
Da die anfängliche kinetische Gesamtenergie und die gesamte kinetische Endenergie nicht gleich sind, können Sie daraus schließen, dass die kinetische Energie nicht erhalten wurde.