Rotationskinematik: Was ist das und warum es wichtig ist (mit Gleichungen und Beispielen)

Kinematik ist ein mathematischer Zweig der Physik, der Gleichungen verwendet, um die Bewegung von Objekten (insbesondere derenFlugbahnen) ohne auf Kräfte zu verweisen.

Das heißt, Sie könnten einfach verschiedene Zahlen in den Satz von vier kinematischen Gleichungen einfügen, um Unbekannte in zu finden diese Gleichungen, ohne dass Sie die Physik hinter dieser Bewegung kennen müssen und sich nur auf Ihre Algebra verlassen Kompetenzen.

Stellen Sie sich „Kinematik“ als Kombination aus „Kinetik“ und „Mathematik“ vor – also der Mathematik der Bewegung.

Die Rotationskinematik ist genau das, aber sie befasst sich speziell mit Objekten, die sich auf Kreisbahnen anstatt horizontal oder vertikal bewegen. Wie Objekte in der Welt der Translationsbewegung können diese rotierenden Objekte in Bezug auf ihre Verschiebung, Geschwindigkeit und beschrieben werden Beschleunigung im Laufe der Zeit, obwohl sich einige der Variablen notwendigerweise ändern, um den grundlegenden Unterschieden zwischen linear und winkelig Rechnung zu tragen Bewegung.

Es ist tatsächlich sehr nützlich, gleichzeitig die Grundlagen der Linear- und Rotationsbewegung zu erlernen oder zumindest in die relevanten Variablen und Gleichungen eingeführt zu werden. Dies soll Sie nicht überfordern, sondern die Parallelen unterstreichen.

Natürlich ist es wichtig, sich beim Erlernen dieser „Bewegungsarten“ im Raum daran zu erinnern, dass Translation und Rotation sich nicht gegenseitig ausschließen. Tatsächlich zeigen die meisten sich bewegenden Objekte in der realen Welt eine Kombination beider Bewegungsarten, wobei eine davon oft nicht auf den ersten Blick erkennbar ist.

Da "Geschwindigkeit" normalerweise "lineare Geschwindigkeit" bedeutet und "Beschleunigung" "lineare Beschleunigung" bedeutet, sofern nicht anders angegeben, ist es angebracht, einige einfache Beispiele für grundlegende Bewegungen zu betrachten.

Lineare Bewegung bedeutet wörtlich eine Bewegung, die auf eine einzige Linie beschränkt ist und oft die Variable „x“ zugewiesen bekommt. Projektilbewegungsprobleme betreffen sowohl x- als auch y-Dimensionen, und die Schwerkraft ist die einzige externe Kraft (beachten Sie, dass diese Probleme als in einer dreidimensionalen Welt auftretend beschrieben werden, z wird gefeuert…“).

Beachten Sie, dass Masseichgeht in keinerlei kinematische Gleichungen ein, da die Wirkung der Schwerkraft auf die Bewegung von Objekten unabhängig von ihrer Masse, und Größen wie Impuls, Trägheit und Energie sind in keiner Gleichung von enthalten Bewegung.

Da bei der Rotationsbewegung kreisförmige Bahnen untersucht werden (sowohl in ungleichmäßiger als auch in gleichmäßiger Kreisbahn) Bewegung) anstatt Meter zu verwenden, um die Verschiebung eines Objekts zu beschreiben, verwenden Sie Bogenmaß oder Grad stattdessen.

Der Bogenmaß ist oberflächlich betrachtet eine unangenehme Einheit und entspricht 57,3 Grad. Aber eine Fahrt um einen Kreis (360 Grad) ist als 2π Radiant definiert, und aus Gründen, die Sie gleich sehen werden, erweist sich dies in einigen Fällen als praktisch bei der Problemlösung.

• Die Beziehungπ rad = 180 Gradkann leicht zwischen beiden Maßeinheiten umgerechnet werden.

Es können Probleme auftreten, die die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit (U/min oder U/s) umfassen. Denken Sie daran, dass jede Umdrehung 2π Radiant oder 360 Grad beträgt.

Translationskinematische Messungen oder Einheiten haben alle Rotationsanaloga. Anstelle der Lineargeschwindigkeit, die beispielsweise beschreibt, wie weit ein Ball in einem bestimmten Zeitintervall geradlinig rollt, wird der BallrotierendoderWinkelgeschwindigkeitbeschreibt die Rotationsgeschwindigkeit dieses Balls (wie viel er sich in Radiant oder Grad pro Sekunde dreht).

Zu beachten ist hier vor allem, dass jede Translationseinheit ein Rotationsanalogon hat. Das Erlernen der mathematischen und konzeptionellen Beziehungen zwischen den „Partnern“ erfordert ein wenig Übung, aber zum größten Teil handelt es sich um einfache Substitution.

Lineargeschwindigkeitvgibt sowohl den Betrag als auch die Richtung der Translation eines Partikels an; Winkelgeschwindigkeitω(der griechische Buchstabe Omega) stellt seine singuläre Geschwindigkeit dar, die genau angibt, wie schnell sich das Objekt in Radiant pro Sekunde dreht. Ebenso ist die Änderungsrate von rateω, die Winkelbeschleunigung, ist gegeben durchα(alpha) in rad/s².

Die Werte vonωundαsind für jeden Punkt auf einem festen Objekt gleich, egal ob 0,1 m von der Rotationsachse oder 1.000 Meter entfernt, denn nur wie schnell der WinkelθÄnderungen, auf die es ankommt.

In den meisten Situationen, in denen Rotationsgrößen beobachtet werden, sind jedoch tangentiale (und damit lineare) Geschwindigkeiten und Beschleunigungen vorhanden. Tangentiale Größen werden berechnet, indem Winkelgrößen mit. multipliziert werdenr, der Abstand von der Drehachse:v_t​ = ​rundα​​_t​ = ​α​​r.​

Nachdem die Messanalogien zwischen rotatorischer und linearer Bewegung durch die Einführung neuer Winkelbegriffe ins Quadrat gestellt wurden, können diese verwendet werden, um die vier klassische Translationskinematik-Gleichungen in Bezug auf die Rotationskinematik, nur mit etwas anderen Variablen (die Buchstaben in den Gleichungen stehen für unbekannte Mengen).

In der Kinematik spielen vier Grundgleichungen sowie vier Grundvariablen eine Rolle: Position (x​, ​jaoderθ), Geschwindigkeit (voderω), Beschleunigung (einoderα) und Zeitt. Welche Gleichung Sie wählen, hängt davon ab, welche Größen zu Beginn unbekannt sind.

​- [eine Tabelle mit linearen/translatorischen Kinematikgleichungen einfügen, die mit ihren Rotationsanaloga ausgerichtet sind]​

Angenommen, Ihnen wird gesagt, dass ein Maschinenarm eine Winkelverschiebung von 3π/4 Radiant mit einer anfänglichen Winkelgeschwindigkeitω₀von 0 rad/s und einer Endwinkelgeschwindigkeitωvon π rad/s. Wie lange hat diese Bewegung gedauert?

Während jede Translationsgleichung ein Rotationsanalogon hat, gilt das Gegenteil wegen der Zentripetalbeschleunigung, die eine Folge der Tangentialgeschwindigkeit ist, nicht ganzv_tund zeigt zur Drehachse. Auch wenn sich die Geschwindigkeit eines Teilchens, das einen Massenschwerpunkt umkreist, nicht ändert, stellt dies eine Beschleunigung dar, da sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ständig ändert.

1. Ein dünner Stab, der als starrer Körper mit einer Länge von 3 m klassifiziert wird, dreht sich um eine Achse um ein Ende. Es beschleunigt gleichmäßig aus der Ruhe auf 3π rad/s² über einen Zeitraum von 10 s.

a) Wie groß sind die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung während dieser Zeit?

Wie bei der Lineargeschwindigkeit dividiere einfach (ω₀+​ ​ω) um 2, um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zu erhalten: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​so^-1​.

• Bogenmaß ist eine dimensionslose Einheit, daher wird die Winkelgeschwindigkeit in kinematischen Gleichungen als s. ausgedrückt^-1.

Die durchschnittliche Beschleunigung ist gegeben durchω=ω₀+ αt, oderα= (3π s^-1/10 s) =0,3π s^-2​.

b) Wie viele vollständige Umdrehungen macht der Stab?

Da die Durchschnittsgeschwindigkeit 1,5 velocity s. beträgt^-1 und die Stange dreht sich 10 Sekunden lang, sie bewegt sich durch insgesamt 15π Radiant. Da eine Umdrehung 2π Radiant ist, bedeutet dies (15π/2π) = 7,5 Umdrehungen (sieben komplette Umdrehungen) bei diesem Problem.

c) Wie groß ist die Tangentialgeschwindigkeit des Stabendes zum Zeitpunkt t = 10 s?

Schon seitv_t​ = ​r, undωzum Zeitpunkt t = 10 ist 3π s^-1, ​v_t= (3π s^-1)(3 m) =9πm/s.​

​ichist definiert als das Trägheitsmoment (auchzweiter Moment der Fläche) in Rotationsbewegung und ist für Berechnungszwecke analog zur Masse. Es erscheint also dort, wo Masse in der Welt der linearen Bewegung erscheinen würde, vielleicht am wichtigsten bei der Berechnung des DrehimpulsesL. Dies ist das Produkt vonichund​ω​,und ist ein Vektor mit der gleichen Richtung wie​ω​.​

​ich = Herr² für ein Punktteilchen, aber ansonsten hängt es von der Form des rotierenden Objekts sowie der Rotationsachse ab. In den Ressourcen finden Sie eine praktische Liste mit Werten vonichfür gängige Formen.

Masse ist anders, weil die Größe in der Rotationskinematik, auf die sie sich bezieht, das Trägheitsmoment, eigentlich selbstenthältMasse als Komponente.