Die Berechnung der Flugbahn einer Kugel dient als nützliche Einführung in einige Schlüsselkonzepte der klassischen Physik, bietet aber auch viel Spielraum, um komplexere Faktoren einzubeziehen. Auf der grundlegendsten Ebene funktioniert die Flugbahn einer Kugel genauso wie die Flugbahn jedes anderen Projektils. Der Schlüssel besteht darin, die Komponenten der Geschwindigkeit in die (x)- und (y)-Achse zu trennen und die konstante Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft zu verwenden, um zu berechnen, wie weit das Geschoss fliegen kann, bevor es auf den Boden trifft. Sie können jedoch auch Widerstand und andere Faktoren einbeziehen, wenn Sie eine genauere Antwort wünschen.
Ignorieren Sie den Windwiderstand, um die von einer Kugel zurückgelegte Entfernung mit der einfachen Formel zu berechnen:
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Wo (v0x) ist seine Startgeschwindigkeit, (h) ist die Höhe, aus der er abgefeuert wird und (g) ist die Erdbeschleunigung.
Diese Formel enthält den Widerstand:
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Dabei ist (C) der Luftwiderstandsbeiwert des Geschosses, (ρ) die Luftdichte, (A) die Fläche des Geschosses, (t) die Flugzeit und (m) die Masse des Geschosses.
Der Hintergrund: (x) und (y) Komponenten der Geschwindigkeit
Der wichtigste Punkt, den Sie bei der Berechnung von Trajektorien verstehen müssen, ist, dass Geschwindigkeiten, Kräfte oder jeder andere „Vektor“ (der sowohl eine Richtung als auch eine Stärke hat) sein können in „Komponenten“ aufgeteilt. Wenn sich etwas in einem 45-Grad-Winkel zur Horizontalen bewegt, stellen Sie sich vor, dass es sich horizontal mit einer bestimmten Geschwindigkeit und vertikal mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt Geschwindigkeit. Wenn Sie diese beiden Geschwindigkeiten kombinieren und ihre unterschiedlichen Richtungen berücksichtigen, erhalten Sie die Geschwindigkeit des Objekts, einschließlich der Geschwindigkeit und der daraus resultierenden Richtung.
Verwenden Sie die Funktionen cos und sin, um Kräfte oder Geschwindigkeiten in ihre Komponenten zu zerlegen. Wenn sich etwas mit einer Geschwindigkeit von 10 Metern pro Sekunde in einem 30-Grad-Winkel zur Horizontalen bewegt, ist die x-Komponente der Geschwindigkeit:
v_x=v\cos{\theta}=(10\text{ m/s})\cos{30}=8.66\text{ m/s}
Wobei (v) die Geschwindigkeit ist (d. h. 10 Meter pro Sekunde), und Sie können einen beliebigen Winkel anstelle von (θ) setzen, um Ihrem Problem zu entsprechen. Die (y)-Komponente wird durch einen ähnlichen Ausdruck angegeben:
v_y=v\sin{\theta}=(10\text{ m/s})\sin{30}=5\text{ m/s}
Diese beiden Komponenten bilden die ursprüngliche Geschwindigkeit.
Grundlegende Trajektorien mit den konstanten Beschleunigungsgleichungen
Der Schlüssel zu den meisten Flugbahnproblemen besteht darin, dass das Projektil aufhört, sich vorwärts zu bewegen, wenn es auf den Boden trifft. Wenn die Kugel aus 1 Meter Höhe abgefeuert wird und die Erdbeschleunigung 1 Meter nach unten führt, kann sie nicht weiter fliegen. Dies bedeutet, dass die y-Komponente die wichtigste zu berücksichtigende Sache ist.
Die Gleichung für die Verschiebung der y-Komponente lautet:
y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
Der Index „0“ bedeutet die Startgeschwindigkeit in Richtung (y), (t) bedeutet Zeit und (g) bedeutet die Erdbeschleunigung, die 9,8 m/s beträgt2. Wir können dies vereinfachen, wenn das Geschoss perfekt horizontal abgefeuert wird, also keine Geschwindigkeit in (y)-Richtung hat. Diese Blätter:
y=-\frac{1}{2}gt^2
In dieser Gleichung bedeutet (y) die Verschiebung aus der Startposition, und wir möchten wissen, wie lange es dauert, bis das Geschoss von seiner Starthöhe (h) fällt. Mit anderen Worten, wir wollen
y=-h=-\frac{1}{2}gt^2
Die Sie neu anordnen zu:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}
Dies ist die Flugzeit für die Kugel. Seine Vorwärtsgeschwindigkeit bestimmt die Entfernung, die es zurücklegt, und diese ist gegeben durch:
x=v_{0x}t
Dabei ist die Geschwindigkeit die Geschwindigkeit, mit der sie die Waffe verlässt. Dies ignoriert die Auswirkungen des Ziehens, um die Mathematik zu vereinfachen. Unter Verwendung der soeben gefundenen Gleichung für (t) ist die zurückgelegte Strecke:
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Für ein Geschoss, das mit 400 m/s feuert und aus 1 Meter Höhe geschossen wird, ergibt dies:
x=(400\text{ m/s})\sqrt{\frac{2(1\text{ m})}{9,8\text{ m/s}^2}}=180,8\text{ m}
Die Kugel legt also etwa 181 Meter zurück, bevor sie auf den Boden trifft.
Integrieren von Drag
Für eine realistischere Antwort bauen Sie Drag in die obigen Gleichungen ein. Dies verkompliziert die Sache etwas, aber Sie können es leicht berechnen, wenn Sie die erforderlichen Informationen über Ihr Geschoss und die Temperatur und den Druck finden, an denen es abgefeuert wird. Die Gleichung für die Widerstandskraft lautet:
F_{drag}=\frac{-C\rho Av^2}{2}
Hier stellt (C) den Luftwiderstandsbeiwert des Geschosses dar (Sie können es für ein bestimmtes Geschoss herausfinden oder C = 0,295 als allgemeine Zahl verwenden), ρ ist die Luftdichte (ca 1,2 kg/Kubikmeter bei Normaldruck und Temperatur), (A) ist die Querschnittsfläche eines Geschosses (Sie können dies für ein bestimmtes Geschoss berechnen oder einfach A = 4,8 ×. verwenden 10−5 ich2, der Wert für ein Kaliber .308) und (v) ist die Geschwindigkeit des Geschosses. Schließlich verwenden Sie die Masse des Geschosses, um diese Kraft in eine Beschleunigung umzuwandeln, die in der Gleichung verwendet werden kann, die als m = 0,016 kg angenommen werden kann, es sei denn, Sie haben ein bestimmtes Geschoss im Sinn.
Dies ergibt einen komplizierteren Ausdruck für die in (x)-Richtung zurückgelegte Entfernung:
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Dies ist kompliziert, da der Luftwiderstand technisch gesehen die Geschwindigkeit verringert, was wiederum den Luftwiderstand verringert, aber Sie können die Dinge vereinfachen, indem Sie einfach den Luftwiderstand basierend auf der Anfangsgeschwindigkeit von 400 m/s berechnen. Bei einer Flugzeit von 0,452 s (wie zuvor) ergibt sich:
x=(400\text{ m/s})(0.452\text{ s})-\frac{(0.295)(1.2\text{ kg/m}^3)(4.8\times10^{-5}\text { m}^2)(400\text{ m/s})^2(0,452\text{ s})^2}{2(0,016\text{ kg})}\\=180,8\text{ m}-\frac{0,555\text{ kgm}}{0,032\text{ kg}}\\=180,8\ Text{ m}-17,3\text{ m}\\=163,5\text{ m}
Das Hinzufügen des Luftwiderstands ändert die Schätzung also um etwa 17 Meter.