Die kinematischen Gleichungen beschreiben die Bewegung eines Objekts, das eine konstante Beschleunigung erfährt. Diese Gleichungen beziehen sich auf die Variablen Zeit, Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines sich bewegenden Objekts, so dass jede dieser Variablen gelöst werden kann, wenn die anderen bekannt sind.
Unten ist eine Darstellung eines Objekts, das eine konstante Beschleunigungsbewegung in einer Dimension durchmacht. Die Variable t ist für die Zeit, Position ist x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung ein. Die Indizes ich und f stehen für "initial" bzw. "final". Es wird angenommen dass t = 0 at xich und vich.
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Liste der kinematischen Gleichungen
Im Folgenden sind drei primäre kinematische Gleichungen aufgeführt, die beim Arbeiten in einer Dimension gelten. Diese Gleichungen sind:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Hinweise zu den kinematischen Gleichungen
- Diese Gleichungen funktionieren nur bei konstanter Beschleunigung (die bei konstanter Geschwindigkeit Null sein kann).
- Je nachdem, welche Quelle Sie lesen, sind die endgültigen Mengen möglicherweise nicht tiefgestellt f, und/oder könnte in Funktionsnotation dargestellt werden als x (t) - lesen "x als Funktion der Zeit“ oder „x zum Zeitpunkt t" - und v (t). Beachten Sie, dass x (t) heißt nicht x multipliziert mit t!
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Manchmal die Menge xf - xich ist geschrieben
x, was „die Veränderung in“ bedeutet x“ oder auch einfach als d, was Verschiebung bedeutet. Alle sind gleichwertig. Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektorgrößen, d. h. ihnen ist eine Richtung zugeordnet. In einer Dimension wird die Richtung typischerweise durch Vorzeichen angegeben – positive Größen sind in positiver Richtung und negative Größen in negativer Richtung. Indizes: "0" könnte anstelle von für Anfangsposition und -geschwindigkeit verwendet werden ich. Diese "0" bedeutet "at t = 0", und x0 und v0 werden normalerweise "x-naught" und "v-naught" ausgesprochen. * Nur eine der Gleichungen beinhaltet keine Zeit. Beim Aufschreiben von Gegebenem und beim Bestimmen der zu verwendenden Gleichung ist dies der Schlüssel!
Ein Sonderfall: Freier Fall
Die freie Fallbewegung ist die Bewegung eines Objekts, die sich allein aufgrund der Schwerkraft beschleunigt, wenn kein Luftwiderstand vorhanden ist. Es gelten die gleichen kinematischen Gleichungen; der Beschleunigungswert in der Nähe der Erdoberfläche ist jedoch bekannt. Die Größe dieser Beschleunigung wird oft dargestellt durch G, wobei g = 9,8 m/s2. Die Richtung dieser Beschleunigung ist nach unten, zur Erdoberfläche. (Beachten Sie, dass einige Quellen ungefähre Angaben machen können G als 10 m/s2, und andere verwenden möglicherweise einen Wert, der auf mehr als zwei Dezimalstellen genau ist.)
Problemlösungsstrategie für Kinematikprobleme in einer Dimension:
Skizzieren Sie ein Diagramm der Situation und wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem. (Erinnere dich daran x, v und ein sind alle Vektorgrößen, so dass es durch die Zuweisung einer eindeutigen positiven Richtung einfacher ist, die Vorzeichen zu verfolgen.)
Schreiben Sie eine Liste bekannter Größen. (Achten Sie darauf, dass die Bekannten manchmal nicht offensichtlich sind. Suchen Sie nach Sätzen wie „beginnt mit Ruhe“, was bedeutet, dass vich = 0, oder „schlägt auf dem Boden“, was bedeutet, dass xf = 0 usw.)
Bestimmen Sie, welche Menge die Frage finden soll. Was ist das Unbekannte, das Sie lösen werden?
Wählen Sie die entsprechende kinematische Gleichung. Dies ist die Gleichung, die Ihre unbekannte Größe zusammen mit bekannten Größen enthält.
Lösen Sie die Gleichung für die unbekannte Größe auf, setzen Sie dann bekannte Werte ein und berechnen Sie die endgültige Antwort. (Vorsicht bei Einheiten! Manchmal müssen Sie Einheiten vor der Berechnung umrechnen.)
Beispiele für eindimensionale Kinematiken
Beispiel 1: Eine Werbung behauptet, dass ein Sportwagen in 2,7 Sekunden von 0 auf 60 Meilen pro Stunde beschleunigen kann. Wie hoch ist die Beschleunigung dieses Autos in m/s2? Wie weit fährt es in diesen 2,7 Sekunden?
Lösung:
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Bekannte und unbekannte Größen:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
Der erste Teil der Frage erfordert die Auflösung nach der unbekannten Beschleunigung. Hier können wir Gleichung #1 verwenden:
v_f=v_i+at\impliziert a =\frac {(v_f-v_i)} t
Bevor wir jedoch Zahlen eingeben, müssen wir 60 mph in m/s umwandeln:
60\cancel{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0,477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26,8\text{ m/s}
Die Beschleunigung ist dann:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\underline{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
Um herauszufinden, wie weit es in dieser Zeit geht, können wir Gleichung #2 verwenden:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9,93 \times 2,7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
Beispiel 2: Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s aus einer Höhe von 1,5 m hochgeworfen. Wie schnell ist es, wenn es den Boden berührt? Wie lange dauert es, den Boden zu berühren?
Lösung:
(Bild 3 einfügen)
Bekannte und unbekannte Größen:
x_i=1,5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9,8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
Um den ersten Teil zu lösen, können wir Gleichung #3 verwenden:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\impliziert v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
Alles ist bereits in konsistenten Einheiten, sodass wir Werte einfügen können:
v_f=\pm\sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\approx\pm16\text{ m/s}
Hier gibt es zwei Lösungen. Welches ist korrekt? Aus unserem Diagramm können wir sehen, dass die Endgeschwindigkeit negativ sein sollte. Die Antwort lautet also:
v_f=\underline{\bold{-16}\text{ m/s}}
Um nach Zeit aufzulösen, können wir entweder Gleichung #1 oder Gleichung #2 verwenden. Da es einfacher ist, mit Gleichung 1 zu arbeiten, verwenden wir diese:
v_f=v_i+at\impliziert t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\approx \underline{\bold{3.2}\text{ s }}
Beachten Sie, dass die Antwort auf den ersten Teil dieser Frage nicht 0 m/s war. Es stimmt zwar, dass der Ball nach der Landung eine Geschwindigkeit von 0 hat, diese Frage möchte jedoch wissen, wie schnell er in diesem Sekundenbruchteil vor dem Aufprall ist. Sobald der Ball den Boden berührt, gelten unsere kinematischen Gleichungen nicht mehr, da die Beschleunigung nicht konstant ist.
Kinematische Gleichungen für die Projektilbewegung (zwei Dimensionen)
Ein Projektil ist ein Objekt, das sich unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft in zwei Dimensionen bewegt. Sein Weg ist eine Parabel, weil die einzige Beschleunigung auf die Schwerkraft zurückzuführen ist. Die kinematischen Gleichungen für die Projektilbewegung haben eine etwas andere Form als die oben aufgeführten kinematischen Gleichungen. Wir nutzen die Tatsache, dass zueinander senkrechte Bewegungskomponenten – wie die Horizontale x Richtung und die Vertikale ja Richtung – sind unabhängig.
Problemlösungsstrategie für Projektilbewegungskinematikprobleme:
Skizzieren Sie ein Diagramm der Situation. Ebenso wie bei eindimensionaler Bewegung ist es hilfreich, das Szenario zu skizzieren und das Koordinatensystem anzugeben. Anstatt die Etiketten zu verwenden x, v und ein für Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung benötigen wir eine Möglichkeit, die Bewegung in jeder Dimension separat zu kennzeichnen.
Für die horizontale Richtung wird am häufigsten verwendet x für Position und vx für die x-Komponente der Geschwindigkeit (beachte, dass die Beschleunigung in dieser Richtung 0 ist, wir brauchen also keine Variable dafür.) In der ja Richtung, wird am häufigsten verwendet ja für Position und vja für die y-Komponente der Geschwindigkeit. Beschleunigung kann entweder beschriftet werden einja oder wir können die Tatsache nutzen, dass wir wissen, dass die Erdbeschleunigung G in die negative y-Richtung, und verwenden Sie stattdessen einfach diese.
Schreiben Sie eine Liste bekannter und unbekannter Größen, indem Sie das Problem in zwei Abschnitte aufteilen: vertikale und horizontale Bewegung. Verwenden Sie Trigonometrie, um die x- und y-Komponenten aller Vektorgrößen zu finden, die nicht entlang einer Achse liegen. Es kann hilfreich sein, dies in zwei Spalten aufzulisten:
(Tabelle 1 einfügen)
Hinweis: Wenn die Geschwindigkeit zusammen mit einem Winkel als Betrag angegeben wird, Ѳ, über der Horizontalen, dann verwenden Sie die Vektorzerlegung, vx= vcos (Ѳ) und vja= vsin (Ѳ).
Wir können unsere drei kinematischen Gleichungen von vorhin betrachten und an die x- bzw. y-Richtung anpassen.
X-Richtung:
x_f=x_i+v_xt
Y-Richtung:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (j_f - y_i)
Beachten Sie, dass die Beschleunigung im ja Richtung ist -g, wenn wir annehmen, dass up positiv ist. Ein häufiges Missverständnis ist, dass g = -9,8 m/s2, aber das ist falsch; G selbst ist einfach der Betrag der Beschleunigung: g = 9,8 m/s2, also müssen wir angeben, dass die Beschleunigung negativ ist.
Lösen Sie in einer dieser Dimensionen nach einer Unbekannten auf und fügen Sie dann ein, was in beiden Richtungen gemeinsam ist. Während die Bewegung in den beiden Dimensionen unabhängig ist, geschieht sie auf derselben Zeitskala, sodass die Zeitvariable in beiden Dimensionen gleich ist. (Die Zeit, die der Ball für seine vertikale Bewegung benötigt, entspricht der Zeit, die er für seine horizontale Bewegung benötigt.)
Beispiele für Projektilbewegungskinematiken
Beispiel 1: Ein Projektil wird horizontal von einer 20 m hohen Klippe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s abgefeuert. Wie lange dauert es, den Boden zu berühren? Wie weit vom Fuß der Klippe entfernt landet es?
(Bild 4 einfügen)
Bekannte und unbekannte Größen:
(Tabelle 2 einfügen)
Wir können die Zeit, die es braucht, um den Boden zu berühren, mithilfe der zweiten vertikalen Bewegungsgleichung ermitteln:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\impliziert t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
Dann um herauszufinden, wo es landet, xf, können wir die horizontale Bewegungsgleichung verwenden:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\underline{\bold{101}\text{ s}}
Beispiel 2: Ein Ball wird mit 100 m/s vom Boden in einem Winkel von 30 Grad zur Horizontalen abgefeuert. Wo landet es? Wann ist seine Geschwindigkeit am kleinsten? Was ist sein Standort zu dieser Zeit?
(Bild 5 einfügen)
Bekannte und unbekannte Größen:
Zuerst müssen wir den Geschwindigkeitsvektor in Komponenten zerlegen:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\approx 86,6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50\ Text{m/s}
Unsere Mengentabelle lautet dann:
(Tabelle 3 einfügen)
Zuerst müssen wir die Flugzeit des Balls ermitteln. Dies können wir mit der zweiten vertikalen Gleichung_ tun. Beachten Sie, dass wir die Symmetrie der Parabel verwenden, um zu bestimmen, dass das letzte _y Geschwindigkeit ist das Negative des Anfangs:
Dann bestimmen wir, wie weit es sich im x Richtung in dieser Zeit:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 10.2\approx\underline{\bold{883}\text m}
Mit Hilfe der Symmetrie der parabolischen Bahn können wir bestimmen, dass die Geschwindigkeit bei am kleinsten ist 5,1 s, wenn sich das Projektil auf dem Höhepunkt seiner Bewegung befindet und die vertikale Geschwindigkeitskomponente 0 ist. Die x- und y-Komponenten seiner Bewegung sind zu diesem Zeitpunkt:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 5.1\approx\underline{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9,8 \times 5,1^2\approx \underline{\bold{128}\text{ m}}
Ableitung kinematischer Gleichungen
Gleichung #1: Bei konstanter Beschleunigung gilt:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Nach der Geschwindigkeit auflösen, erhalten wir:
v_f=v_i+at
Gleichung #2: Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann auf zwei Arten geschrieben werden:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Wenn wir _v. ersetzenf _mit dem Ausdruck aus Gleichung #1 erhalten wir:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Auflösen nach xf gibt:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2
Gleichung 3: Beginnen Sie mit der Auflösung nach t in Gleichung #1
v_f=v_i+at \impliziert t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
Setzen Sie diesen Ausdruck ein für t in der mittleren Geschwindigkeitsbeziehung:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implies \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Die Umordnung dieses Ausdrucks ergibt:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)