In der Algebra sind Zahlenfolgen wertvoll, um zu untersuchen, was passiert, wenn etwas immer größer oder kleiner wird. Eine arithmetische Folge wird durch die gemeinsame Differenz definiert, die die Differenz zwischen einer Zahl und der nächsten in der Folge ist. Bei arithmetischen Folgen ist diese Differenz ein konstanter Wert und kann positiv oder negativ sein. Als Ergebnis wird eine arithmetische Folge jedes Mal um einen festen Betrag größer oder kleiner, wenn eine neue Zahl zu der Liste hinzugefügt wird, aus der die Folge besteht.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Eine arithmetische Folge ist eine Liste von Zahlen, in denen sich aufeinanderfolgende Terme um einen konstanten Betrag, die gemeinsame Differenz, unterscheiden. Wenn die gemeinsame Differenz positiv ist, erhöht sich die Folge um einen festen Betrag, während sie negativ ist, verringert sich die Folge. Andere gebräuchliche Folgen sind die geometrische Folge, bei der sich Terme durch einen gemeinsamen Faktor unterscheiden, und die Fibonacci-Folge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen Zahlen ist.
Wie eine arithmetische Folge funktioniert
Eine arithmetische Folge wird durch eine Startnummer, eine gemeinsame Differenz und die Anzahl der Terme in der Folge definiert. Zum Beispiel eine arithmetische Folge, die mit 12 beginnt, eine gemeinsame Differenz von 3 und fünf Termen ist 12, 15, 18, 21, 24. Ein Beispiel für eine absteigende Folge ist eine, die mit der Zahl 3 beginnt, eine gemeinsame Differenz von -2 und sechs Termen. Diese Folge ist 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Auch arithmetische Folgen können unendlich viele Terme haben. Zum Beispiel wäre die erste Sequenz oben mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen 12, 15, 18,... und diese Folge geht ins Unendliche.
Arithmetisches Mittel
Eine arithmetische Folge hat eine entsprechende Reihe, die alle Terme der Folge addiert. Wenn die Terme addiert und die Summe durch die Anzahl der Terme geteilt wird, ist das Ergebnis das arithmetische Mittel oder der Durchschnitt. Die Formel für das arithmetische Mittel lautet
\text{mean}= \frac{ \text{Summe von }n \text{ Termen}}{n}
Eine schnelle Methode zur Berechnung des Mittelwertes einer arithmetischen Folge ist die Beobachtung, dass beim ersten und letzten Terme addiert werden, ist die Summe die gleiche wie beim Addieren des zweiten und vorletzten Termes oder des drittletzten und drittletzten Begriffe. Als Ergebnis ist die Summe der Folge die Summe der ersten und letzten Terme mal der halben Anzahl der Terme. Um den Mittelwert zu erhalten, wird die Summe durch die Anzahl der Terme geteilt, sodass der Mittelwert einer arithmetischen Folge die Hälfte der Summe des ersten und letzten Termes ist. ZumneinBegriffeein1 zueinnein, die entsprechende Formel für den Mittelwert m ist
m= \frac{a_1+a_n}{2}
Unendliche arithmetische Folgen haben keinen letzten Term und daher ist ihr Mittelwert undefiniert. Stattdessen kann ein Mittelwert für eine Teilsumme gefunden werden, indem die Summe auf eine definierte Anzahl von Termen begrenzt wird. In diesem Fall können die Teilsumme und ihr Mittelwert auf die gleiche Weise wie für eine nicht-unendliche Folge ermittelt werden.
Andere Arten von Sequenzen
Zahlenfolgen basieren oft auf Beobachtungen aus Experimenten oder Messungen von Naturphänomenen. Solche Folgen können Zufallszahlen sein, aber oft erweisen sich Folgen als arithmetische oder andere geordnete Zahlenlisten.
Zum Beispiel unterscheiden sich geometrische Folgen von arithmetischen Folgen, weil sie eher einen gemeinsamen Faktor als einen gemeinsamen Unterschied haben. Anstatt für jeden neuen Begriff eine Zahl hinzuzufügen oder zu subtrahieren, wird eine Zahl jedes Mal multipliziert oder geteilt, wenn ein neuer Begriff hinzugefügt wird. Eine Folge, die 10, 12, 14,... als arithmetische Folge mit einer gemeinsamen Differenz von 2 wird 10, 20, 40,... als geometrische Folge mit einem gemeinsamen Faktor von 2.
Andere Sequenzen folgen ganz anderen Regeln. Zum Beispiel werden die Terme der Fibonacci-Folge gebildet, indem die beiden vorherigen Zahlen addiert werden. Seine Reihenfolge ist 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Die Terme müssen einzeln addiert werden, um eine Teilsumme zu erhalten, da die schnelle Methode der Addition des ersten und letzten Termes für diese Reihenfolge nicht funktioniert.
Arithmetische Folgen sind einfach, haben aber reale Anwendungen. Wenn der Startpunkt bekannt ist und die gemeinsame Differenz gefunden wird, kann der Wert der Reihe zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft berechnet und auch der Mittelwert bestimmt werden.