Manchmal ist es notwendig, einen von Null verschiedenen Vektor zu finden, der uns, wenn er mit einer quadratischen Matrix multipliziert wird, ein Vielfaches des Vektors zurückgibt. Dieser von Null verschiedene Vektor wird als "Eigenvektor" bezeichnet. Eigenvektoren sind nicht nur für Mathematiker interessant, sondern auch für andere Berufe wie Physik und Ingenieurwesen. Um sie zu berechnen, müssen Sie die Matrixalgebra und die Determinanten verstehen.
Lernen und verstehen Sie die Definition eines "Eigenvektors". Es wird für eine n x n quadratische Matrix A gefunden und auch a Skalarer Eigenwert namens "Lambda". Lambda wird durch den griechischen Buchstaben dargestellt, aber hier werden wir es abkürzen zu L. Wenn es einen von Null verschiedenen Vektor x mit Ax = Lx gibt, wird dieser Vektor x ein "Eigenwert von A" genannt.
Finden Sie die Eigenwerte der Matrix mit der charakteristischen Gleichung det (A -- LI) = 0. „Det“ steht für die Determinante und „I“ ist die Identitätsmatrix.
Berechnen Sie den Eigenvektor für jeden Eigenwert, indem Sie einen Eigenraum E(L) finden, der der Nullraum der charakteristischen Gleichung ist. Die von Null verschiedenen Vektoren von E(L) sind die Eigenvektoren von A. Diese werden gefunden, indem man die Eigenvektoren wieder in die charakteristische Matrix einsetzt und eine Basis für A -- LI = 0 findet.
Berechnen Sie die Eigenwerte unter Verwendung der charakteristischen Gleichung. Det (A - LI) ist (3 - L)(3 - L) --1 = L^2 - 6L + 8 = 0, das ist das charakteristische Polynom. Wenn wir dies algebraisch lösen, erhalten wir L1 = 4 und L2 = 2, die die Eigenwerte unserer Matrix sind.
Ermitteln Sie den Eigenvektor für L = 4, indem Sie den Nullraum berechnen. Setzen Sie dazu L1 = 4 in die charakteristische Matrix und finden Sie die Basis für A -- 4I = 0. Wenn wir dies lösen, finden wir x -- y = 0 oder x = y. Dies hat nur eine unabhängige Lösung, da sie gleich sind, z. B. x = y = 1. Daher ist v1 = (1,1) ein Eigenvektor, der den Eigenraum von L1 = 4 aufspannt.
Wiederholen Sie Schritt 6, um den Eigenvektor für L2 = 2 zu finden. Wir finden x + y = 0 oder x = --y. Dies hat auch eine unabhängige Lösung, sagen wir x = -1 und y = 1. Daher ist v2 = (--1,1) ein Eigenvektor, der den Eigenraum von L2 = 2 aufspannt.