So berechnen Sie eine Querschnittsfläche

Möglicherweise stoßen Sie auf Situationen, in denen Sie eine dreidimensionale feste Form haben und die Bereich einer imaginären Ebene, die durch die Form eingefügt wird und deren Grenzen durch die Grenzen der solide.

Wenn Sie beispielsweise ein zylindrisches Rohr mit einer Länge von 20 Metern (m) und einem Durchmesser von 0,15 m unter Ihrem Haus verlaufen haben, möchten Sie vielleicht wissen, Querschnittsfläche des Rohres.

Querschnitte können senkrecht zur Ausrichtung der Achsen des Volumenkörpers sein, falls vorhanden. Im Fall einer Kugel führt jede Schnittebene durch die Kugel, unabhängig von der Ausrichtung, zu einer Scheibe einiger Größe.

Die Querschnittsfläche hängt von der Form des Festkörpers ab und bestimmt die Querschnittsfläche Grenzen und der Winkel zwischen der Symmetrieachse des Festkörpers (sofern vorhanden) und der Ebene, die den erzeugt Querschnitt.

Das Volumen eines rechteckigen Festkörpers, einschließlich eines Würfels, ist die Fläche seiner Grundfläche (Länge mal Breite) multipliziert mit seiner Höhe: V = L × B × H.

Wenn also ein Querschnitt parallel zur Ober- oder Unterseite des Festkörpers verläuft, beträgt die Querschnittsfläche l × w. Wenn die Schnittebene parallel zu einer der beiden Seitensätze ist, wird die Querschnittsfläche stattdessen durch l × h oder b × h angegeben.

Wenn der Querschnitt zu keiner Symmetrieachse senkrecht ist, kann die erzeugte Form ein Dreieck (wenn es durch eine Ecke des Volumenkörpers gelegt wird) oder sogar ein Sechseck sein.

Beispiel: Berechnen Sie die Querschnittsfläche einer Ebene senkrecht zur Basis eines Würfels mit einem Volumen von 27 m³.

• Da l = w = h für einen Würfel ist, muss jede Kante des Würfels 3 m lang sein (da 3

  × 3 

  × 3 = 27). Ein Querschnitt der beschriebenen Art wäre also ein Quadrat von 3 m Seitenlänge, was einer Fläche von 9 m² entspricht².

Ein Zylinder ist ein Festkörper, der erzeugt wird, indem ein Kreis senkrecht zu seinem Durchmesser durch den Raum gezogen wird. Die Fläche eines Kreises ergibt sich aus der Formel πr², wobei r der Radius ist. Es ist daher sinnvoll, dass das Volumen eines Zylinders die Fläche eines der Kreise ist, die seine Basis bilden.

Ist der Querschnitt parallel zur Symmetrieachse, dann ist die Querschnittsfläche einfach ein Kreis mit der Fläche πr². Wird die Schnittebene unter einem anderen Winkel eingefügt, entsteht eine Ellipse. Die Fläche verwendet die entsprechende Formel: πab (wobei a die längste Entfernung vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand und b die kürzeste ist).

Beispiel: Wie groß ist der in der Einleitung beschriebene Querschnitt des Rohres unter Ihrem Haus?

• Das ist nur r² = π(0,15 m)²=

  (0,0225) m² = 0,071 m². Beachten Sie, dass die Länge des Rohres für diese Berechnung irrelevant ist.

Jede theoretische Ebene, die durch eine Kugel gelegt wird, führt zu einem Kreis (denken Sie einige Momente darüber nach). Wenn Sie entweder den Durchmesser oder den Umfang des Kreises kennen, den der Querschnitt bildet, können Sie die Beziehungen C = 2πr und A = πr. verwenden² eine Lösung zu erhalten.

Beispiel: Ein Flugzeug wird sehr nahe am Nordpol grob durch die Erde eingeführt und entfernt einen Teil des Planeten im Umkreis von 10 m. Wie groß ist die Querschnittsfläche dieses kalten Stücks der Erde?

• Da C = 2πr = 10 m, r = 10/2π = 1,59 m; A = r²= π(1.59)²= 7,96 m².