In der Geometrie ist ein Bogenmaß eine Einheit zum Messen von Winkeln. Der Bogenmaß ergibt sich aus der Länge des Kreisradius. Das Segment des Kreisumfangs, das dem Winkel zweier Radiuslinien entspricht, bildet einen Bogen. Der Winkel, den dieser Bogen erzeugt, wenn Sie Linien von seinem Anfangs- und Endpunkt zum Mittelpunkt des Kreises zeichnen, beträgt ein Bogenmaß. Obwohl das Bogenmaß auf den ersten Blick seltsam und kompliziert erscheinen mag, vereinfacht es Gleichungen in Mathematik und Physik.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
In der Geometrie ist ein Bogenmaß eine auf dem Kreis basierende Einheit, die zum Messen von Winkeln verwendet wird. Es erleichtert Berechnungen in fortgeschrittenen Mathematikarten.
Grad vs. Radiant
Außerhalb der Physik und fortgeschrittener Mathematik sind Grad normalerweise bekanntere Einheiten für Winkelmessungen. Ein Kreis hat zum Beispiel 360 Grad, ein Dreieck hat 180 und ein rechter Winkel hat 90. Im Gegensatz dazu hat ein Vollkreis 2 × π (pi) Radiant, ein Dreieck hat π Radiant und ein rechter Winkel ist π/2 Radiant. Ein Kreis hat eine ganze Zahl von Graden, während der Wert im Bogenmaß eine irrationale Zahl ist, sodass das Bogenmaß auf den ersten Blick seltsam erscheinen mag. Auf der anderen Seite können Sie Bruchteile eines Grades als Dezimalzahl ausdrücken oder als die Minuten, Sekunden und Dezimalsekunden, die Sie auch mit der Zeit verwenden, sodass der Grad seine eigenen Probleme hat.
Einfacher und schwieriger
Gradmessungen sind in der Regel einfacher zu handhaben als Bogenmaß für grundlegende Arithmetik und Trigonometrie; man muss sich beim Ausdrücken eines Winkels selten mit Brüchen von π befassen. Aber für Infinitesimalrechnung und andere fortgeschrittene Mathematik stellt sich heraus, dass das Bogenmaß einfacher ist. Die Potenzreihe für die Sinusfunktion im Bogenmaß lautet beispielsweise wie folgt:
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9 }{9!} + ...
In Grad sieht die Funktion so aus:
\sin(x) = (π × x/180) - \frac{(π × x/180)^3}{3!} + \frac{(π × x/180)^5}{ 5!} - \frac{ (π × x/180)^7}{7!} + \frac{(π × x/180)^9}{9!} + ...
Beachten Sie für diese Potenzreihe, dass Sie das „π ×x/180” für jeden Begriff – viel zusätzliches Schreiben und Rechnen im Vergleich zu dem übersichtlicheren, kompakteren Äquivalent im Bogenmaß. Das Bogenmaß stammt aus der natürlichen Geometrie eines Kreises und nicht wie Grad aus einer Division durch eine beliebige Zahl. Da das Bogenmaß viele Berechnungen erleichtert, halten Mathematiker die Einheit für „natürlicher“ als Grad.
Verwendungen für Radiant
Zusätzlich zu Potenzreihen wie dem Sinusfunktionsbeispiel werden Sie in der Mathematik Radiant sehen, die Analysis und Differentialgleichungen umfasst. Wenn Sie beispielsweise Bogenmaß verwenden, wird die Ableitung der Sinusfunktion sin(x), ist einfach der Kosinus, cos(x). In Grad aber ist die Ableitung von sin(x) ist umständlicher (π ÷ 180) × cos(x). Je weiter Sie in Mathematik vorankommen, desto schwieriger werden die Probleme und die Lösungen erfordern viele weitere Rechen- und Algebrazeilen. Radiant erspart Ihnen viel unnötiges zusätzliches Schreiben und verringert die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen.
In der Physik verwenden Formeln für die Frequenz von Wellen und die Rotationsgeschwindigkeit von Objekten ein Omega in Kleinbuchstaben.ω”, als bequeme Abkürzung für „2 × π × Radiant pro Sekunde“.
Konvertieren von Grad in Radiant
Die Formeln zum Umrechnen von Grad in Bogenmaß und zurück sind einfach. Um Winkel in Grad in Bogenmaß umzuwandeln, multiplizieren Sie den Winkel mit π und teilen Sie ihn dann durch 180. Ein Kreis hat beispielsweise 360 Grad. Multipliziert mit π ergibt das 360π; dann dividiere durch 180 und du erhältst 2π Radiant. Um von Bogenmaß in Grad umzurechnen, multiplizieren Sie mit 180 und dividieren Sie dann durch. Konvertieren Sie beispielsweise einen rechten Winkel, ÷ 2 Radiant. Multiplizieren Sie mit 180, um 90π zu erhalten, und dividieren Sie dann durch π, um das Ergebnis von 90 Grad zu erhalten.