Sobald Sie mit Trigonometrie und Analysis beginnen, werden Sie möglicherweise auf Ausdrücke wie sin (2θ), wobei Sie aufgefordert werden, den Wert von zu ermittelnθ. Das Spielen von Versuch und Irrtum mit Diagrammen oder einem Taschenrechner, um die Antwort zu finden, würde von einem langwierigen Albtraum bis hin zu völlig unmöglich reichen. Glücklicherweise sind die Doppelwinkel-Identitäten hier, um zu helfen. Dies sind spezielle Fälle einer sogenannten zusammengesetzten Formel, die die Funktionen der Formen (EIN + B) oder (EIN – B) runter in Funktionen von justEINundB.
Die Doppelwinkel-Identitäten für Sinus
Es gibt drei Doppelwinkel-Identitäten, jeweils eine für die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen. Aber die Sinus- und Cosinus-Identitäten können auf verschiedene Weise geschrieben werden. Hier sind die zwei Möglichkeiten, die Doppelwinkelidentität für die Sinusfunktion zu schreiben:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
Die Doppelwinkel-Identitäten für Cosinus
Es gibt noch mehr Möglichkeiten, die Doppelwinkelidentität für Kosinus zu schreiben:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
Die Doppelwinkelidentität für Tangente
Zum Glück gibt es nur eine Möglichkeit, die Doppelwinkelidentität für die Tangensfunktion zu schreiben:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Verwenden von Doppelwinkel-Identitäten
Stellen Sie sich vor, Sie sehen sich einem rechtwinkligen Dreieck gegenüber, bei dem Sie die Länge seiner Seiten kennen, aber nicht das Maß seiner Winkel. Sie wurden gebeten, zu findenθ, woθist einer der Winkel des Dreiecks. Wenn die Hypotenuse des Dreiecks 10 Einheiten misst, misst die Seite neben Ihrem Winkel 6 Einheiten und die dem Winkel gegenüberliegende Seite misst 8 Einheiten, es spielt keine Rolle, dass Sie das Maß von nicht kennenθ; Sie können Ihr Wissen über Sinus und Kosinus sowie eine der Doppelwinkelformeln verwenden, um die Antwort zu finden.
Nachdem Sie einen Winkel gewählt haben, können Sie Sinus als Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse und Cosinus als Verhältnis der benachbarten Seite zur Hypotenuse definieren. In dem gerade gegebenen Beispiel haben Sie also:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Sie finden diese beiden Ausdrücke, weil sie die wichtigsten Bausteine für die Doppelwinkelformeln sind.
Da es so viele Doppelwinkelformeln zur Auswahl gibt, können Sie diejenige auswählen, die einfacher zu berechnen ist und die Art der benötigten Informationen zurückgibt. In diesem Fall, weil du die Sünde kennstθund cosθSchon jetzt ist klar, dass der bequemste Ausdruck ist:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
Sie kennen bereits die Werte von sinθ und cosθ, also setzen Sie sie in die Gleichung ein:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Nach der Vereinfachung haben Sie:
\sin(2θ) = \frac{96}{100}
Die meisten trigonometrischen Diagramme werden in Dezimalzahlen angegeben, also arbeite als nächstes die Division, die durch den Bruch dargestellt wird, um ihn in Dezimalform umzuwandeln. Jetzt hast du:
\sin(2θ) = 0,96
Finden Sie schließlich den inversen Sinus oder Arkussinus von 0,96, der als sin. geschrieben wird −1(0.96). Oder mit anderen Worten, verwenden Sie Ihren Taschenrechner oder ein Diagramm, um den Winkel mit einem Sinus von 0,96 zu approximieren. Wie sich herausstellt, entspricht das fast genau 73,7 Grad. Also 2θ= 73,7 Grad.
Teilen Sie jede Seite der Gleichung durch 2. Dies gibt Ihnen:
θ = 36,85 \text{ Grad}