Trigonometrie kann sich wie ein ziemlich abstraktes Thema anfühlen. Arkane Begriffe wie „Sünde“ und „Kos“ scheinen in der Realität einfach nichts zu entsprechen, und es ist schwer, sie als Konzepte zu fassen. Der Einheitskreis hilft dabei wesentlich und bietet eine einfache Erklärung dafür, was die Zahlen sind, die Sie erhalten, wenn Sie den Sinus, Cosinus oder Tangens eines Winkels nehmen. Für alle Studenten der Naturwissenschaften oder Mathematik kann das Verständnis des Einheitskreises Ihr Verständnis der Trigonometrie und der Verwendung der Funktionen wirklich festigen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Ein Einheitskreis hat den Radius eins. Stellen Sie sich vorxyKoordinatensystem ausgehend vom Mittelpunkt dieses Kreises. Die Spitzenwinkel werden von dort gemessen, wox= 1 undja= 0, auf der rechten Seite des Kreises. Die Winkel nehmen zu, wenn Sie sich gegen den Uhrzeigersinn bewegen.
Verwenden dieses Frameworks undjafür dieja-koordinieren undxfür diex-Koordinate des Punktes auf dem Kreis:
Sündeθ = ja
cosθ = x
Und folglich:
bräunenθ = ja / x
Was ist der Einheitskreis?
Ein „Einheitskreis“ hat einen Radius von 1. Mit anderen Worten, der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Teil der Kante beträgt immer 1. Die Maßeinheit spielt keine Rolle, denn das Wichtigste am Einheitskreis ist, dass er viele Gleichungen und Berechnungen viel einfacher macht.
Es dient auch als nützliche Grundlage für die Betrachtung der Definitionen von Winkeln. Stellen Sie sich vor, der Kreismittelpunkt liegt im Mittelpunkt eines Koordinatensystems mit einemx-Achse verläuft horizontal und aja-Achse läuft vertikal. Der Kreis kreuzt diex-Achse beix = 1, ja= 0. Wissenschaftler und Mathematiker definieren den Winkel von diesem Punkt aus, der sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt. Also der Punktx =1, ja= 0 auf dem Kreis steht im Winkel von 0°.
Die Definitionen von Sin und Cos mit dem Einheitskreis
Die gewöhnlichen Definitionen von sin, cos und tan, die den Schülern gegeben werden, beziehen sich auf Dreiecke. Sie stellen fest:
\sin θ = \frac{\text{Gegenteil}}{\text{Hypotenuse}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{angrenzend}}{\text{hypotenuse}} \\ \, \\ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
„Gegenüber“ bezieht sich auf die Länge der Seite des Dreiecks gegenüber dem Winkel, „benachbart“ bezieht sich auf die Länge der Seite neben dem Winkel und „Hypotenuse“ bezieht sich auf die Länge der diagonalen Seite des Dreieck.
Stellen Sie sich vor, Sie erstellen ein Dreieck, so dass die Hypotenuse immer den Radius des Einheitskreises hat, mit einer Ecke am Rand des Kreises und einer in seiner Mitte. Dies bedeutet, dass Hypotenuse = 1 in den obigen Gleichungen ist, also werden die ersten beiden:
\sin θ = \frac{\text{gegenüber}}{1} = \text{gegenüber}\\ \,\\ \cos = \frac{\text{angrenzend}}{1} = \text{angrenzend} \\
Wenn Sie den fraglichen Winkel zum Mittelpunkt des Kreises machen, ist das Gegenteil genau der justja-koordinieren und das angrenzende ist nur dasx-Koordinate des Punktes auf dem Kreis, der das Dreieck berührt. Mit anderen Worten, die Sünde gibt dieja-Koordinate auf dem Einheitskreis (unter Verwendung von Koordinaten, die im Mittelpunkt beginnen) für einen gegebenen Winkel und cos gibt die zurückx-Koordinate. Deshalb cos (0) = 1 und sin (0) = 0, denn das sind an dieser Stelle die Koordinaten. Ebenso cos (90) = 0 und sin (90) = 1, denn dies ist der Punkt mitx= 0 undja= 1. In Gleichungsform:
\sin θ = y \\ \cos θ = x
Auf dieser Grundlage sind auch negative Winkel leicht zu verstehen. Die negativen Winkel (vom Startpunkt aus im Uhrzeigersinn gemessen) haben die gleichenxKoordinate als entsprechender positiver Winkel, also:
\cos -θ = \cos θ
Allerdings ist dieja-Koordinatenschalter, was bedeutet, dass
\sin -θ = -\sin θ
Die Definition von Tan mit dem Einheitskreis
Die oben angegebene Definition von tan ist:
\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
Aber mit den Einheitskreisdefinitionen von sin und cos können Sie sehen, dass dies äquivalent zu ist:
\tan θ = \frac{\text{gegenüber}}{\text{angrenzend}}
Oder in Koordinaten denken:
\tan θ = \frac{y}{x}
Dies erklärt, warum tan für 90° oder –270° und 270° oder –90° undefiniert ist (wobeix= 0), da man nicht durch Null teilen kann.
Trigonometrische Funktionen grafisch darstellen
Sin oder cos grafisch darzustellen wird einfacher, wenn Sie an den Einheitskreis denken. Dasx-Koordinate ändert sich sanft, während Sie sich um den Kreis bewegen, beginnend bei 1 und abnehmend auf ein Minimum von -1 bei 180° und dann auf die gleiche Weise ansteigend. Die Sinusfunktion macht dasselbe, steigt jedoch zuerst bei 90° auf einen Maximalwert von 1 an, bevor sie dem gleichen Muster folgt. Die beiden Funktionen sollen um 90° phasenverschoben sein.
Bräune graphisch darzustellen erfordert das Teilenjadurchx, und ist daher komplizierter grafisch darzustellen und hat auch Punkte, an denen es undefiniert ist.