Das Sinusgesetz ist eine Formel, die die Beziehung zwischen den Winkeln eines Dreiecks und den Längen seiner Seiten vergleicht. Solange Sie mindestens zwei Seiten und einen Winkel oder zwei Winkel und eine Seite kennen, können Sie das Sinusgesetz verwenden, um die anderen fehlenden Informationen zu Ihrem Dreieck zu finden. Unter sehr begrenzten Umständen können Sie jedoch zwei Antworten auf das Maß eines Winkels erhalten. Dies wird als der mehrdeutige Fall des Sinusgesetzes bezeichnet.
Wenn der mehrdeutige Fall passieren kann
Der mehrdeutige Fall des Sinusgesetzes kann nur eintreten, wenn der "bekannte Informations"-Teil Ihres Dreiecks aus zwei Seiten und einem Winkel besteht, wobei der Winkel istnichtzwischen den beiden bekannten Seiten. Dies wird manchmal als SSA oder Side-Side-Winkel-Dreieck abgekürzt. Wenn der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten wäre, würde er als SAS oder Seitenwinkel-Seiten-Dreieck abgekürzt, und der mehrdeutige Fall würde nicht gelten.
Eine Zusammenfassung des Sinusgesetzes
Das Sinusgesetz kann auf zwei Arten geschrieben werden. Die erste Form ist praktisch, um die Maße fehlender Seiten zu finden:
\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
Die zweite Form ist praktisch, um die Maße fehlender Winkel zu finden:
\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}
Beachten Sie, dass beide Formen gleichwertig sind. Wenn Sie das eine oder andere Formular verwenden, ändert sich das Ergebnis Ihrer Berechnungen nicht. Es erleichtert nur die Arbeit mit ihnen, je nachdem, nach welcher Lösung Sie suchen.
Wie der mehrdeutige Fall aussieht
In den meisten Fällen ist der einzige Hinweis darauf, dass Sie einen mehrdeutigen Fall haben, das Vorhandensein eines SSA-Dreiecks, in dem Sie aufgefordert werden, einen der fehlenden Winkel zu finden. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Dreieck mit dem WinkelEIN= 35 Grad, Seiteein= 25 Einheiten und Seiteb= 38 Einheiten, und Sie wurden gebeten, die Messung des Winkels zu findenB. Sobald Sie den fehlenden Winkel gefunden haben, müssen Sie prüfen, ob der mehrdeutige Fall zutrifft.
Fügen Sie Ihre bekannten Informationen in das Sinusgesetz ein. Mit dem zweiten Formular erhalten Sie:
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38} = \frac{\sin (C)}{c}
Missachte die Sünde (C)/c; es ist für die Zwecke dieser Berechnung irrelevant. Du hast also wirklich:
\frac{\sin(35)}{25}=\frac{\sin(B)}{38}
Lösen fürB. Eine Möglichkeit ist die Kreuzmultiplikation; das gibt dir:
25 × \ sin (B) = 38 × \ sin (35)
Als nächstes vereinfachen Sie, indem Sie einen Taschenrechner oder ein Diagramm verwenden, um den Wert von sin (35) zu ermitteln. Es ist ungefähr 0,57358, was Ihnen Folgendes gibt:
25 × \sin(B) = 38 × 0,57358
was vereinfacht zu:
25 × \sin(B) = 21.79604
Als nächstes dividiere beide Seiten durch 25, um sin(B), dir geben:
\sin(B) = 0,8718416
Zum Abschluss der Lösung fürB, nehmen Sie den Arkussinus oder den umgekehrten Sinus von 0,8718416. Oder mit anderen Worten, verwenden Sie Ihren Taschenrechner oder Ihr Diagramm, um den ungefähren Wert eines Winkels B zu finden, der den Sinus 0,8718416 hat. Dieser Winkel beträgt ungefähr 61 Grad.
Auf den mehrdeutigen Fall prüfen
Da Sie nun eine erste Lösung haben, ist es an der Zeit, den mehrdeutigen Fall zu überprüfen. Dieser Fall tritt auf, weil es für jeden spitzen Winkel einen stumpfen Winkel mit demselben Sinus gibt. Während also ~61 Grad der spitze Winkel mit dem Sinus 0,8718416 ist, müssen Sie auch den stumpfen Winkel als mögliche Lösung berücksichtigen. Dies ist ein wenig knifflig, da Ihr Taschenrechner und Ihre Sinuswerttabelle Ihnen höchstwahrscheinlich nichts über den stumpfen Winkel sagen, also müssen Sie daran denken, ihn zu überprüfen.
Finden Sie den stumpfen Winkel mit demselben Sinus, indem Sie den gefundenen Winkel – 61 Grad – von 180 subtrahieren. Sie haben also 180 - 61 = 119. 119 Grad ist also der stumpfe Winkel, der den gleichen Sinus wie 61 Grad hat. (Sie können dies mit einem Taschenrechner oder einem Sinusdiagramm überprüfen.)
Aber wird dieser stumpfe Winkel mit den anderen Informationen, die Sie haben, ein gültiges Dreieck bilden? Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie diesen neuen, stumpfen Winkel zu dem "bekannten Winkel" hinzufügen, den Sie in der ursprünglichen Aufgabe erhalten haben. Wenn die Summe weniger als 180 Grad beträgt, stellt der stumpfe Winkel eine gültige Lösung dar und Sie müssen alle weiteren Berechnungen mit fortsetzenbeidegültige Dreiecke in Betracht. Wenn die Summe mehr als 180 Grad beträgt, stellt der stumpfe Winkel keine gültige Lösung dar.
In diesem Fall betrug der "bekannte Winkel" 35 Grad und der neu entdeckte stumpfe Winkel 119 Grad. Also hast du:
119 + 35 = 154 \text{ Grad}
Da 154 Grad < 180 Grad gilt, gilt der zweideutige Fall und Sie haben zwei gültige Lösungen: Der fragliche Winkel kann 61 Grad oder 119 Grad betragen.