So lösen Sie spezielle rechtwinklige Dreiecke

In Mathematik und Geometrie ist das Wissen um Tricks und Abkürzungen eine der Fähigkeiten, die die Experten von den Prätendenten unterscheidet. Die Zeit, die Sie damit verbringen, sie zu lernen, zahlt sich in der Zeit aus, die Sie beim Lösen von Problemen sparen. Es lohnt sich zum Beispiel, zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke zu kennen, die, wenn Sie sie einmal erkannt haben, im Handumdrehen zu lösen sind. Die beiden Dreiecke sind insbesondere das 30-60-90 und das 45-45-90.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke haben Innenwinkel von 30, 60 und 90 Grad sowie 45, 45 und 90 Grad.

Dreiecke sind dreiseitige Polygone, deren Innenwinkel zusammen 180 Grad ergeben. Das rechtwinklige Dreieck ist ein Sonderfall, bei dem einer der Winkel 90 Grad beträgt, also müssen sich die anderen beiden Winkel per Definition auf 90 addieren. Die Sinus-, Kosinus-, Tangens- und andere trigonometrische Funktionen bieten Möglichkeiten, die Innenwinkel rechtwinkliger Dreiecke sowie die Länge ihrer Seiten zu berechnen. Ein weiteres unverzichtbares Rechenwerkzeug für rechtwinklige Dreiecke ist der Satz des Pythagoras, der besagt: dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden ist Seiten, oder

Wenn Sie an einem rechtwinkligen Dreiecksproblem arbeiten, erhalten Sie normalerweise mindestens einen Winkel und eine Seite und werden gebeten, die restlichen Winkel und Seiten zu berechnen. Mit der obigen pythagoräischen Formel können Sie die Länge jeder Seite berechnen, wenn Sie die anderen beiden erhalten. Ein großer Vorteil der speziellen rechtwinkligen Dreiecke ist, dass die Proportionen der Seitenlängen immer gleich sind, sodass Sie die Länge aller Seiten finden können, wenn Sie nur eine haben. Wenn Sie nur eine Seite erhalten und das Dreieck etwas Besonderes ist, können Sie auch die Werte der Winkel ermitteln.

Wie der Name schon sagt, hat das rechtwinklige Dreieck 30-60-90 Innenwinkel von 30, 60 und 90 Grad. Folglich fallen die Seiten dieses Dreiecks in die Proportionen 1: 2: 3, wobei 1 und √3 die Längen der gegenüberliegenden und benachbarten Seiten und 2 die Hypotenuse sind. Diese Zahlen gehören immer zusammen: Wenn Sie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks lösen und feststellen, dass sie dem Muster 1, 2, √3 entsprechen, wissen Sie, dass die Winkel 30, 60 und 90 Grad betragen. Wenn Ihnen einer der Winkel 30 zugewiesen wird, wissen Sie auch, dass die anderen beiden 60 und 90 sind und dass die Seiten die Proportionen 1: 2: √3 haben.

Das 45-45-90-Dreieck funktioniert ähnlich wie das 30-60-90-Dreieck, außer dass zwei Winkel gleich sind, ebenso wie die gegenüberliegenden und angrenzenden Seiten. Es hat Innenwinkel von 45, 45 und 90 Grad. Die Seitenverhältnisse des Dreiecks betragen 1: 1: √2, wobei das Verhältnis der Hypotenuse √2 beträgt. Die anderen beiden Seiten sind gleich lang. Wenn Sie an einem rechtwinkligen Dreieck arbeiten und einer der Innenwinkel 45 Grad beträgt, wissen Sie in einem sofort, dass der verbleibende Winkel ebenfalls 45 Grad betragen muss, da das gesamte Dreieck 180. ergeben muss Grad.

Denken Sie beim Lösen der beiden speziellen rechtwinkligen Dreiecke daran, dass es dasProportionender Seiten, auf die es ankommt, nicht ihre absolute Messung. Zum Beispiel hat ein Dreieck Seiten, die 1 Fuß und 1 Fuß und √ 2 Fuß messen, also wissen Sie, dass es ein 45-45-90-Dreieck ist und Innenwinkel von 45, 45 und 90 Grad hat.

Aber was macht man mit einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten √17 Fuß und √17 Fuß messen? Die Proportionen der Seiten sind der Schlüssel. Da die beiden Seiten identisch sind, beträgt das Verhältnis zueinander 1:1, und da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, beträgt das Verhältnis der Hypotenuse 1:√2 zu jeder der anderen Seiten. Die gleichen Proportionen weisen darauf hin, dass die Seiten 1, 1, 2 sind, was nur zum 45-45-90-Sonderdreieck gehört. Um die Hypotenuse zu finden, multiplizieren Sie √17 mit √2, um √34 Fuß zu erhalten.