Im Gegensatz zu einem gleichseitigen Dreieck mit seinen drei gleichen Seiten und Winkeln ist ein gleichschenkliges Dreieck mit seinen zwei gleichen Seiten oder a rechtwinkliges Dreieck mit seinem 90-Grad-Winkel, ein skalenförmiges Dreieck hat drei Seiten zufälliger Länge und drei zufällige Winkel. Wenn Sie seine Fläche kennen möchten, müssen Sie ein paar Messungen vornehmen. Wenn Sie die Länge einer Seite und den senkrechten Abstand dieser Seite zum gegenüberliegenden Winkel messen können, haben Sie genügend Informationen, um die Fläche zu berechnen. Es ist auch möglich, die Fläche zu berechnen, wenn Sie die Längen aller drei Seiten kennen. Wenn Sie den Wert eines der Winkel sowie die Längen der beiden Seiten bestimmen, die ihn bilden, können Sie auch die Fläche berechnen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Die Fläche eines skalenischen Dreiecks mit Basis b und Höhe h ist gegeben durch 1/2 bh. Wenn Sie die Längen aller drei Seiten kennen, können Sie die Fläche mit der Reiherformel berechnen, ohne die Höhe ermitteln zu müssen. Wenn Sie den Wert eines Winkels und die Länge der beiden Seiten, die ihn bilden, kennen, können Sie die Länge der dritten Seite mit dem Kosinusgesetz ermitteln und dann die Heron-Formel zur Berechnung der Fläche verwenden.
Allgemeine Formel zum Finden der Fläche
Betrachten Sie ein zufälliges Dreieck. Es ist möglich, ein Rechteck darum zu zeichnen, das eine der Seiten als Basis verwendet (egal welche) und nur die Spitze des dritten Winkels berührt. Die Länge dieses Rechtecks entspricht der Länge der Seite des Dreiecks, die es bildet, die Basis (b). Seine Breite ist gleich dem senkrechten Abstand von der Basis zur Spitze, der als Höhe bezeichnet wird (ha) des Dreiecks.
Die Fläche des Rechtecks, das Sie gerade gezeichnet haben, ist gleichb × ha. Wenn Sie jedoch die Linien des Dreiecks untersuchen, werden Sie feststellen, dass sie das Paar von Rechtecken, das durch die senkrechte Linie von der Basis bis zur Spitze entsteht, genau in zwei Hälften teilen. Somit ist die Fläche innerhalb des Dreiecks genau halb so groß wie außerhalb, oder 1/2bh. Für jedes Dreieck:
\text{Fläche} = \frac{1}{2} \text{ base} × \text{height}
Reiher-Formel
Mathematiker wissen seit Jahrtausenden, wie man die Fläche eines Dreiecks mit drei bekannten Seiten berechnet. Sie verwenden die Heron-Formel, benannt nach Heron von Alexandria. Um diese Formel zu verwenden, müssen Sie zuerst den halben Umfang (so) des Dreiecks, was Sie tun, indem Sie alle drei Seiten addieren und das Ergebnis durch zwei teilen. Für ein Dreieck mit Seitenein, bundc, der halbe Umfang
s = \frac{1}{2}(a + b + c)
Sobald du weißtso, berechnen Sie die Fläche mit dieser Formel:
\text{Fläche} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}
Anwendung des Kosinusgesetzes
Betrachten Sie ein Dreieck mit drei WinkelnEIN, BundC. Die Längen der drei Seiten sindein, bundc. Seite a ist entgegengesetzter WinkelEIN, Seitebist entgegengesetzter WinkelB, und seitlichcist entgegengesetzter WinkelC. Wenn Sie einen der Winkel kennen – zum Beispiel WinkelC– und die beiden Seiten, die es bilden – in diesem Fall,einundb– Sie können die Länge der dritten Seite mit dieser Formel berechnen:
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos (C)
Sobald Sie den Wert von kennenc, können Sie die Fläche mit der Heron-Formel berechnen.