Eine Tangente an eine Kurve berührt die Kurve nur an einem Punkt, und ihre Steigung ist gleich der Steigung der Kurve an diesem Punkt. Sie können die Tangente mit einer Art Rate-and-Check-Methode schätzen, aber der einfachste Weg, sie zu finden, ist durch Infinitesimalrechnung. Die Ableitung einer Funktion gibt Ihnen ihre Steigung an jedem Punkt an, also indem Sie die Ableitung der Funktion bilden, dass beschreibt Ihre Kurve, Sie können die Steigung der Tangente finden und dann nach der anderen Konstanten auflösen, um Ihre Antworten.
Schreiben Sie die Funktion für die Kurve auf, deren Tangente Sie suchen müssen. Bestimmen Sie, an welchem Punkt Sie die Tangente nehmen möchten (z. B. x = 1).
Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit den Ableitungsregeln. Es gibt zu viele, um sie hier zusammenzufassen; eine Liste der Ableitungsregeln finden Sie im Abschnitt Ressourcen, falls Sie jedoch eine Auffrischung benötigen:
Beispiel: Wenn die Funktion f (x) = 6x^3 + 10x^2 - 2x + 12 ist, wäre die Ableitung wie folgt:
f'(x) = 18x^2 + 20x - 2
Beachten Sie, dass wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion durch Hinzufügen des '-Zeichens darstellen, sodass f'(x) die Ableitung von f (x) ist.
Setzen Sie den x-Wert, für den Sie die Tangente benötigen, in f'(x) ein und berechnen Sie, was f'(x) an diesem Punkt sein wird.
Beispiel: Wenn f'(x) 18x^2 + 20x - 2 ist und Sie die Ableitung an der Stelle benötigen, an der x = 0 ist, dann würden Sie 0 in diese Gleichung anstelle von x einsetzen, um Folgendes zu erhalten:
f'(0) = 18 (0)^2 + 20(0) - 2
also f'(0) = -2.
Schreiben Sie eine Gleichung der Form y = mx + b auf. Dies wird Ihre Tangente sein. m ist die Steigung Ihrer Tangente und entspricht Ihrem Ergebnis aus Schritt 3. Sie kennen b jedoch noch nicht und müssen es lösen. In Fortsetzung des Beispiels wäre Ihre Ausgangsgleichung basierend auf Schritt 3 y = -2x + b.
Setzen Sie den x-Wert, den Sie verwendet haben, um die Steigung der Tangente zu finden, wieder in Ihre ursprüngliche Gleichung f (x) ein. Auf diese Weise können Sie an dieser Stelle den y-Wert Ihrer ursprünglichen Gleichung bestimmen und ihn dann verwenden, um nach b in Ihrer Tangentengleichung aufzulösen.
Beispiel: Wenn x 0 ist und f (x) = 6x^3 + 10x^2 - 2x + 12, dann f (0) = 6(0)^3 + 10(0)^2 - 2(0) + 12. Alle Terme in dieser Gleichung gehen bis auf den letzten auf 0, also f (0) = 12.
Ersetzen Sie das Ergebnis aus Schritt 5 durch y in Ihrer Tangentengleichung, ersetzen Sie dann den x-Wert, den Sie in Schritt 5 verwendet haben, durch x in Ihrer Tangentengleichung und lösen Sie nach b auf.
Beispiel: Sie wissen aus einem vorherigen Schritt, dass y = -2x + b. Wenn y = 12, wenn x = 0, dann 12 = -2(0) + b. Der einzig mögliche Wert für b, der ein gültiges Ergebnis liefert, ist 12, also b = 12.
Schreiben Sie Ihre Tangentengleichung mit den gefundenen m- und b-Werten auf.
Beispiel: Sie kennen m = -2 und b = 12, also y = -2x + 12.
Dinge, die du brauchen wirst
- Bleistift
- Papier
- Taschenrechner