DasBogenlängeeines Kreises ist der Abstand entlang der Außenseite dieses Kreises zwischen zwei angegebenen Punkten. Wenn Sie ein Viertel des Weges um einen großen Kreis gehen und den Umfang des Kreises kennen, wäre die Bogenlänge des Abschnitts, den Sie gegangen sind, einfach der Umfang des Kreises, 2ππr, geteilt durch vier. Der geradlinige Abstand zwischen diesen Punkten über den Kreis wird als Sehne bezeichnet.
Wenn Sie das Maß des Zentriwinkels kennenθ, das ist der Winkel zwischen den Linien, die vom Mittelpunkt des Kreises ausgehen und mit den Enden des Bogens verbunden sind, können Sie die Bogenlänge leicht berechnen:
L = \frac{θ}{360} × 2πr
Die Bogenlänge ohne Winkel
Manchmal ist dir jedoch nicht gegebenθ. Aber wenn Sie die Länge des zugehörigen Akkords kennenc, können Sie die Bogenlänge auch ohne diese Angaben nach folgender Formel berechnen:
c = 2r\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
Die folgenden Schritte gehen von einem Kreis mit einem Radius von 5 Metern und einer Sehne von 2 Metern aus.
Löse die Akkordgleichung nachθ
Teilen Sie jede Seite durch 2r(das entspricht dem Durchmesser des Kreises). Das gibt
\frac{c}{2r} = \sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
In diesem Beispiel
\frac{c}{2r} = \frac{2}{2×5} = 0,2
Finden Sie den umgekehrten Sinus von (θ/2)
Da hast du jetzt
0.2 = \sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
Sie müssen den Winkel finden, der diesen Sinuswert ergibt.
Verwenden Sie die ARCSIN-Funktion Ihres Taschenrechners, die oft mit SIN. bezeichnet wird-1, um dies zu tun, oder verwenden Sie auch den Rapid Tables-Rechner (siehe Ressourcen).
\sin^{-1}(0,2) = 11,54=\frac{θ}{2} \\ \impliziert θ=23,08
Nach der Bogenlänge auflösen
Zurück zur Gleichung
L = \frac{θ}{360} × 2πr
Geben Sie die bekannten Werte ein:
L = \frac{23,08}{360} × 2π × 5\text{ Meter} \\ \, \\= 0,0641 × 31,42 = 2,014 \text{ Meter}
Beachten Sie, dass bei relativ kurzen Bogenlängen die Sehnenlänge der Bogenlänge sehr nahe kommt, wie eine visuelle Prüfung nahelegt.