Das Volumen eines dreidimensionalen Festkörpers ist der dreidimensionale Raum, den er einnimmt. Das Volumen einiger einfacher Figuren kann direkt berechnet werden, wenn die Oberfläche einer ihrer Seiten bekannt ist. Das Volumen vieler Formen kann auch aus ihrer Oberfläche berechnet werden. Das Volumen einiger komplizierterer Formen kann mit Integralrechnung berechnet werden, wenn die ihre Oberfläche beschreibende Funktion integrierbar ist.
Sei \"S\" ein Körper mit zwei parallelen Flächen, die \"Basis\" genannt werden. Alle Querschnitte des Volumenkörpers, die parallel zu den Basen verlaufen, müssen dieselbe Fläche wie die Basen haben. Sei \"b\" die Fläche dieser Querschnitte und \"h\" sei der Abstand zwischen den beiden Ebenen, in denen die Basen liegen.
Berechnen Sie das Volumen von \"S\" als V = bh. Prismen und Zylinder sind einfache Beispiele für diese Art von Festkörpern, sie umfasst jedoch auch kompliziertere Formen. Beachten Sie, dass das Volumen dieser Festkörper leicht berechnet werden kann, egal wie komplex die Form der Basis ist, solange die Bedingungen in Schritt 1 gelten und die Oberfläche der Basis bekannt ist.
Sei \"P\" ein Körper, der gebildet wird, indem eine Basis mit einem Punkt verbunden wird, der als Scheitelpunkt bezeichnet wird. Der Abstand zwischen Scheitel und Basis sei \"h,\" und der Abstand zwischen der Basis und einem zur Basis parallelen Querschnitt sei \"z." Weiterhin sei die Grundfläche \"b\" und die Fläche des Querschnitts \"c\". Für alle diese Querschnitte gilt (h - z)/h = c/b.
Berechnen Sie das Volumen von \"P\" in Schritt 3 als V = bh/3. Pyramiden und Kegel sind einfache Beispiele für diese Art von Körper, aber es gibt auch kompliziertere Formen. Die Basis kann jede beliebige Form haben, solange ihre Oberfläche bekannt ist und die Bedingungen in Schritt 3 eingehalten werden.
Berechnen Sie das Volumen einer Kugel aus ihrer Oberfläche. Die Oberfläche einer Kugel ist A = 4?r^2. Durch Integration dieser Funktion nach \"r,\" erhalten wir das Volumen der Kugel zu V = 4/3 ?r^3.