Seit fast 1.000 Jahren untersuchen Mathematiker ein bemerkenswertes Zahlenmuster, die Fibonacci-Folge. Die Fibonacci-Zahlen eignen sich zum Teil für mathematische Fair-Projekte, weil sie so oft in der Natur vorkommen und daher leicht illustriert werden können.
Definition der Fibonacci-Folge und des Goldenen Schnitts
Die ersten beiden Zahlen in der Fibonacci-Folge sind Null und Eins. Jede neue Zahl der Folge wird als Summe der beiden vorherigen Zahlen berechnet. Die Sequenz sieht also so aus: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 und so weiter. Ein Konzept, das eng mit den Fibonacci-Zahlen verwandt ist, ist das des Goldenen Schnitts. Um den Goldenen Schnitt zu veranschaulichen, nehmen Sie zwei beliebige benachbarte Fibonacci-Zahlen und teilen Sie durch die Zahl direkt davor. Nehmen Sie zum Beispiel die oben gezeigte Fibonacci-Folge und erstellen Sie Folgendes: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1.5; 5/3=1.666; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625 und so weiter. Wenn Sie immer größere Zahlen in der Fibonacci-Folge nehmen, nähert sich das Verhältnis dem Wert 1,618034 immer mehr an. Subtrahiert man von dieser Zahl eins, bleibt nur der Bruchteil übrig – .618034 – der manchmal mit dem griechischen Buchstaben phi bezeichnet wird.
Obst und Gemüse, das Fibonacci-Zahlen veranschaulichen
Sammeln Sie einen Blumenkohl, einen Apfel und eine Banane. Beobachten Sie, wie die einzelnen Röschen des Blumenkohls spiralförmig angeordnet sind. Zählen und notieren Sie die Anzahl der Spiralen. Fotografieren Sie den Blumenkohl und zeichnen Sie auf dem Foto seine Spiralen mit einem Stift nach. Den Apfel der Breite nach halbieren und die beiden Hälften fotografieren. Notieren und notieren Sie die Fibonacci-Zahl auf jeder Hälfte und zeichnen Sie jede mit einem Stift auf Ihrem Foto nach. Schneiden Sie die geschälte Banane in zwei Hälften und sehen Sie sich ihre Mitte an, um eine Fibonacci-Zahl zu sehen. Fotografieren Sie wie beim Apfel die beiden Hälften und verwenden Sie einen Stift, um die Zahl zu umreißen.
Die Fibonacci-Zahlen in Pflanzen
Starten Sie eine Sonnenblumenpflanze aus Samen. Während sie wächst, werden Sie sehen, dass die Blätter von oben betrachtet kreisförmig austreiben. Wenn sie erscheinen, messen Sie den Winkelabstand gegen den Uhrzeigersinn voneinander. Notieren Sie den Drehwinkel jedes aufeinander folgenden Blattaufgangs. Die gemessenen Winkel sollten durchweg etwa 222,5 Grad betragen, was 0,618034 mal 360 Grad entspricht. Da Regen und Sonne von oben auf die Pflanze fallen, stellt sich heraus, dass dieser Blattaustrittswinkel die optimale Abdeckung für Sonne und Wasser bietet, ohne die Blätter darunter zu blockieren. Ihr Projekt zeigt, dass der ideale Winkel für den Blattaustritt dem Goldenen Schnitt – 0,618034 – oder Phi folgt.
Fibonacci-Zahlen und -Spiralen
Zeichnen Sie auf einem Blatt Millimeterpapier zwei kleine Quadrate der Länge 1 nebeneinander. Zeichnen Sie direkt über diesen beiden Quadraten ein weiteres Quadrat der Länge 2. Die Unterseite dieses Quadrats berührt die Oberseiten der beiden Quadrate der Länge-1. Zeichnen Sie links von diesen drei Quadraten ein weiteres Quadrat der Länge 3. Es berührt die linke Seite des 2-Zoll-Quadrats und eines der 1-Zoll-Quadrate.
Zeichnen Sie unten in diese vier Quadrate ein Quadrat der Länge 5. Konstruieren Sie auf der rechten Seite dieser wachsenden Reihe von Quadraten ein Quadrat der Länge 8. Konstruieren Sie oben auf diesem wachsenden Array ein Quadrat der Länge 13. Beachten Sie, dass die Längen jedes aufeinanderfolgenden Quadrats 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 oder die Fibonacci-Folge sind. Sie können eine Spirale konstruieren, indem Sie verbundene Viertelbögen in jedes aufeinanderfolgende Quadrat zeichnen. Diese Spirale ähnelt der Schale einer Kammernautilus sowie der spiralförmigen Anordnung der Samen in der Sonnenblume.