Vereinfachen Sie Vergleiche von Zahlensätzen, insbesondere von großen Zahlensätzen, indem Sie die Mittelwerte mit Mittelwert, Modus und Median berechnen. Verwenden Sie die Bereiche und Standardabweichungen der Sätze, um die Variabilität der Daten zu untersuchen.
Der Mittelwert gibt den Durchschnittswert der Zahlenmenge an. Betrachten Sie beispielsweise den Datensatz mit den Werten 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23.
Um den Mittelwert zu ermitteln, verwenden Sie die Formel: Mittelwert ist gleich der Summe der Zahlen im Datensatz geteilt durch die Anzahl der Werte im Datensatz. Mathematisch ausgedrückt:
\text{Mean}=\frac{\text{Summe aller Terme}}{\text{wie viele Terme oder Werte in der Menge}}
Der Median bezeichnet den Mittelpunkt oder den Mittelwert einer Reihe von Zahlen.
Ordne die Zahlen vom kleinsten zum größten. Verwenden Sie den Beispielsatz von Werten: 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23. Der Reihe nach wird das Set zu: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Wenn der Zahlensatz eine gerade Anzahl von Werten hat, berechnen Sie den Durchschnitt der beiden Mittelwerte. Angenommen, der Zahlensatz enthält die Werte 22, 23, 25, 26. Die Mitte liegt zwischen 23 und 25. Die Addition von 23 und 25 ergibt 48. Eine Division von 48 durch zwei ergibt einen Medianwert von 24.
Der Modus identifiziert den oder die häufigsten Werte im Datensatz. Abhängig von den Daten kann es einen oder mehrere Modi oder gar keinen Modus geben.
Ordnen Sie wie bei der Ermittlung des Medians den Datensatz vom kleinsten zum größten. Im Beispielsatz lauten die geordneten Werte: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Ein Modus tritt auf, wenn sich Werte wiederholen. Im Beispielsatz kommt der Wert 25 zweimal vor. Keine anderen Zahlen wiederholen sich. Daher ist der Modus der Wert 25.
In einigen Datensätzen tritt mehr als ein Modus auf. Der Datensatz 22, 23, 23, 24, 27, 27, 29 enthält zwei Modi, jeweils einen bei 23 und 27. Andere Datensätze können mehr als zwei Modi haben, können Modi mit mehr als zwei Zahlen haben (wie 23, 23, 24, 24, 24, 28, 29: Modus gleich 24) oder kann überhaupt keine Modi haben (wie 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29). Der Modus kann überall im Datensatz auftreten, nicht nur in der Mitte.
Range zeigt den mathematischen Abstand zwischen dem niedrigsten und dem höchsten Wert im Datensatz an. Range misst die Variabilität des Datensatzes. Ein breiter Bereich weist auf eine größere Variabilität der Daten hin oder möglicherweise auf einen einzelnen Ausreißer, der weit vom Rest der Daten entfernt ist. Ausreißer können den Mittelwert ausreichend verzerren oder verschieben, um die Datenanalyse zu beeinflussen.
Im Stichprobensatz überschreitet der hohe Datenwert von 36 den vorherigen Wert 25 um 11. Dieser Wert erscheint angesichts der anderen Werte im Set extrem. Der Wert 36 könnte ein Ausreißer-Datenpunkt sein.
Die Standardabweichung misst die Variabilität des Datensatzes. Eine kleinere Standardabweichung weist wie die Spannweite auf eine geringere Variabilität hin.
Um die Standardabweichung zu finden, muss die quadrierte Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert [∑(x − µ)2], addieren alle Quadrate, dividieren diese Summe durch eins weniger als die Anzahl der Werte (Nein− 1) und schließlich die Quadratwurzel des Dividenden berechnen. In einer Formel lautet dies:
Berechnen Sie den Mittelwert, indem Sie alle Datenpunktwerte addieren und dann durch die Anzahl der Datenpunkte dividieren. Im Beispieldatensatz
Dividiere die Summe, 175, durch die Anzahl der Datenpunkte, 7, oder
Als nächstes subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Datenpunkt und quadrieren dann jede Differenz. Die Formel sieht so aus:
wobei ∑ Summe bedeutet,xich repräsentiert jeden Datensatzwert undµstellt den Mittelwert dar. Wenn wir mit dem Beispielsatz fortfahren, werden die Werte zu:
20-25=-5 \text{ und } -5^2=25 \\ 24-25=-1 \text{ und } -1^2=1 \\ 25-25=0 \text{ und } 0^ 2=0 \\ 36-25=11 \text{ und } 11^2=121 \\ 25-25=0 \text{ und } 0^2=0 \\ 22-25=-3 \text{ und } -3^2=9 \\ 23- 25=-2 \text{ und } -2^2=4
Teilen Sie die Summe der quadrierten Differenzen durch eins weniger als die Anzahl der Datenpunkte. Der Beispieldatensatz hat 7 Werte, alsoNein− 1 entspricht 7 − 1 = 6. Die Summe der quadrierten Differenzen, 160, geteilt durch 6, ergibt ungefähr 26,6667.
Berechnen Sie die Standardabweichung, indem Sie die Quadratwurzel der Division durch ermittelnNein− 1. Im Beispiel entspricht die Quadratwurzel von 26,6667 ungefähr 5,164. Daher beträgt die Standardabweichung ungefähr 5,164.
Die Standardabweichung hilft bei der Auswertung von Daten. Zahlen im Datensatz, die innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen, sind Teil des Datensatzes. Zahlen, die außerhalb von zwei Standardabweichungen liegen, sind Extremwerte oder Ausreißer. Im Beispielsatz liegt der Wert 36 mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert, also ist 36 ein Ausreißer. Ausreißer können fehlerhafte Daten darstellen oder auf unvorhergesehene Umstände hinweisen und sollten bei der Interpretation von Daten sorgfältig berücksichtigt werden.