So bestimmen Sie einen unbekannten Exponenten

Wenn Sie die Ausdrücke 3 sehen² und 5³, könnten Sie mit Schwung verkünden, dass dies "drei im Quadrat" und "fünf gewürfelt" bedeutet, und Sie können äquivalente Zahlen finden, ohne Exponenten, die Zahlen, die durch die hochgestellten Zeichen oben rechts oben dargestellt werden. Diese Zahlen sind in diesem Fall 9 und 125.

Aber was ist, wenn statt, sagen wir, eine einfache Exponentialfunktion wie y = x ³, Sie müssen stattdessen eine Gleichung wie y = 3. lösen^x. Hier erscheint x, die abhängige Variable, als Exponent. Gibt es eine Möglichkeit, diese Variable von ihrer Stange herunterzuziehen, um mathematisch einfacher damit umzugehen?

Tatsächlich gibt es dies, und die Antwort liegt in der natürlichen Ergänzung von Exponenten, die lustige und hilfreiche Größen sind, die als. bekannt sind Logarithmen.

Ein Exponent, auch a. genannt Leistung, ist eine komprimierte Methode, um wiederholte Multiplikationen einer Zahl mit sich selbst auszudrücken. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Jede Zahl, die mit 1 potenziert wird, behält denselben Wert; Jede Zahl mit einem Exponenten von 0 ist gleich 1. Zum Beispiel 72
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  ¹ = 72; 72⁰ = 1.

Exponenten können negativ sein und die Beziehung erzeugen x⁻ⁿ= 1/(x^nein). Sie können auch als Brüche ausgedrückt werden, z. B. 2^(5/3). Wenn sie als Brüche ausgedrückt werden, müssen sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sein.

Logarithmen oder "Logs" können als Exponenten betrachtet werden, die als etwas anderes als eine Potenz ausgedrückt werden. Das hilft wahrscheinlich nicht viel, also vielleicht ein oder zwei Beispiele.

Im Ausdruck 10³ = 1,000, die Zahl 10 ist die Base, und es wird in die dritte Potenz erhoben (oder Kraft von drei). Sie können dies so ausdrücken, dass "die Basis von 10 zur dritten Potenz gleich 1000 ist."

Ein Beispiel für einen Logarithmus ist Log₁₀(1,000) = 3. Beachten Sie, dass die Zahlen und ihre Beziehungen zueinander dieselben sind wie im vorherigen Beispiel, aber sie wurden verschoben. In Worten bedeutet dies, dass "die logarithmische Basis 10 von 1.000 gleich 3 ist."

Die rechte Größe ist die Potenz, auf die die Basis von 10 erhöht werden muss, um der Streit, oder Eingabe des Protokolls, den Wert in Klammern (in diesem Fall 1.000). Dieser Wert muss positiv sein, da die Basis – die eine andere Zahl als 10 sein kann, aber beim Weglassen als 10 angenommen wird, z. B. „log 4“ – ebenfalls immer positiv ist.

Wie können Sie also einfach zwischen Logs und Exponenten arbeiten? Ein paar Regeln zum Verhalten von Protokollen können Ihnen den Einstieg in Exponentenprobleme erleichtern.

Mit den obigen Informationen können Sie versuchen, in einer Gleichung nach einem Exponenten aufzulösen.

Beispiel: Wenn 50 = 4^x, was ist x?

Wenn Sie das Log zur Basis 10 jeder Seite bringen und die explizite Identifizierung der Basis weglassen, wird dies zu Log 50 = Log 4^x. Aus der obigen Box wissen Sie, dass log 4^x = x log 4. Das lässt dich mit

log 50 = x log 4 oder x = (log 50)/(log 4).

Mit Ihrem Taschenrechner oder elektronischen Gerät Ihrer Wahl finden Sie, dass die Lösung (1.689/0.602) =. ist 2.82.

Die gleichen Regeln gelten, wenn die Basis e, die sogenannte natürlicher Logarithmus, was einen Wert von etwa 2,7183 hat. Sie sollten auch eine Schaltfläche dafür auf Ihrem Taschenrechner haben. Auch dieser Wert bekommt eine eigene Notation: log_ex wird einfach "ln x" geschrieben.

• Die Funktion y = e^x i, mit e keine Variable, sondern eine Konstante mit diesem Wert, ist die einzige Funktion mit einer Steigung gleich ihrer eigenen Höhe für alle x und y.
  
• Nur als Log₁₀10^x = x, ln e^x = x für alle x.

Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 16 = e^2,7x.

Wie oben gilt ln 16 = ln e^2,7x = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, also x = 2/77/2,7 = 1.03.