Die Berechnung eines Stichprobenanteils in Wahrscheinlichkeitsstatistiken ist einfach. Eine solche Berechnung ist nicht nur ein praktisches Werkzeug an sich, sondern auch eine nützliche Methode, um zu veranschaulichen, wie sich Stichprobengrößen in Normalverteilungen auf die Standardabweichungen dieser Stichproben auswirken.
Nehmen wir an, ein Baseballspieler schlägt .300 in einer Karriere, die viele tausend Plattenauftritte umfasst, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Der Basistreffer jedes Mal, wenn er einem Pitcher gegenübersteht, beträgt 0,3. Daraus lässt sich ablesen, wie nahe er an .300 mit einer kleineren Anzahl von Platten treffen wird Auftritte.
Definitionen und Parameter
Für diese Probleme ist es wichtig, dass die Stichprobengrößen ausreichend groß sind, um aussagekräftige Ergebnisse zu erzielen. Das Produkt der Stichprobengröße nein und die Wahrscheinlichkeit p des jeweiligen Ereignisses muss größer oder gleich 10 sein, ebenso das Produkt aus Stichprobenumfang und
np ≥ 10
und
n (1 - p) ≥ 10
Das Probenanteilp̂ ist einfach die Anzahl der beobachteten Ereignisse x geteilt durch die Stichprobengröße nein, oder
p̂ = \frac{x}{n}
Mittelwert und Standardabweichung der Variablen
Das bedeuten von x ist einfach np, die Anzahl der Elemente in der Stichprobe multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses. Das Standardabweichung von x ist:
\sqrt{np (1 - p)}
Um zum Beispiel des Baseballspielers zurückzukehren, nehmen wir an, dass er in seinen ersten 25 Spielen 100 Plattenauftritte hat. Wie hoch sind der Mittelwert und die Standardabweichung der erwarteten Anzahl von Treffern?
np = 100 × 0,3 = 30
und
\begin{aligned} \sqrt{np (1 - p)} &= \sqrt{100×0.3×0.7} \\ &= 10 \sqrt{0.21} \\ &= 4.58 \end{aligned}
Dies bedeutet, dass der Spieler, der nur 25 Treffer in seinen 100 Plattenauftritten oder sogar 35 Treffer erzielt, statistisch nicht als anormal angesehen wird.
Mittelwert und Standardabweichung des Stichprobenanteils
Das bedeuten beliebiger Probenanteile p̂ ist nur p. Das Standardabweichung von p̂ ist:
\frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}
Für den Baseballspieler mit 100 Versuchen an der Platte beträgt der Mittelwert einfach 0,3 und die Standardabweichung ist:
\begin{aligned} \frac{\sqrt{0,3 × 0,7}}{\sqrt{100}} &= \frac{\sqrt{0,21}}{10} \\ &= 0,0458 \end{aligned}
Beachten Sie, dass die Standardabweichung von p̂ ist viel kleiner als die Standardabweichung von x.