Mathematiker haben es sich ausgedacht viele Möglichkeiten, Zahlen nach ihren Eigenschaften zu kategorisieren und zu klassifizieren, und Koprimzahlen sind eine der interessanteren Klassifikationen von Zahlenpaaren basierend auf ihren Primfaktoren.
Aber zwei Zahlen zu finden, die coprime sind, ist nicht unbedingt einfach, besonders wenn Sie es von Hand berechnen. Um eine Koprimzahl zu berechnen, müssen Sie zuerst die Primfaktoren einer Zahl, dann können Sie das Ergebnis verwenden, um andere Zahlen zu finden, die zu ihr koprim sind. Sie können auch überprüfen, ob zwei Zahlen coprime sind, was ein einfacherer Vorgang ist.
Was ist ein Coprime?
Für jede Zahl ist eine Coprime eine Zahl, die außer 1 keine gemeinsamen Faktoren mit ihr teilt. Mit anderen Worten, wenn Sie beide Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen, teilen sie sich nur den Primfaktor von 1. Diese Zahlen werden manchmal auch relativ prim oder gegenseitig prim genannt.
21 und 22 sind zum Beispiel coprime. Für 21 sind die Faktoren eins, drei, sieben und 21, aber für 22 sind es eins, zwei, 11 und 22. Da das einzige gemeinsame Mitglied dieser beiden Listen eins ist, bedeutet dies, dass 21 und 22 per Definition coprime sind. Natürlich ist dieser Prozess viel schwieriger zu erreichen für
Primfaktorzerlegung
Der erste und wichtigste Schritt bei der Berechnung einer Koprimzahl für eine beliebige Zahl besteht darin, die Primfaktoren der Zahl zu finden. Sie können diesen Vorgang für jede beliebige Zahl auf ähnliche Weise durchführen, aber betrachten Sie ein bestimmtes Beispiel, die Zahl 35, um das Verfahren konkreter zu machen. Der erste Schritt besteht darin, eine niedrige Primzahl zu finden, durch die die Zahl teilbar ist: In diesem Fall ist fünf die naheliegende Wahl. Jetzt können Sie diese Zahl verwenden, um einen weiteren Faktor zu finden, da sie mit etwas multipliziert werden muss, in diesem Fall sieben, um das Ergebnis zu erhalten.
In diesem Fall können Sie außer einem und 35 keine weiteren Faktoren finden, also haben Sie den Vorgang abgeschlossen. Versuchen Sie im Allgemeinen, die Zahl durch zwei, dann durch drei, dann durch fünf usw. durch Primzahlen zu teilen, bis Sie eine finden das funktioniert (ohne Rest), dann den gleichen Prozess mit dem Ergebnis durchlaufen, bis das Ergebnis ein anderes ist prim.
Zum Beispiel: 60 dividiert durch zwei, um 30 zu erhalten, was durch zwei dividiert, um 15 zu ergeben, was dann durch drei dividiert, um fünf (eine weitere Primzahl) zu ergeben, also können Sie 60 = 2 × 2 × 3 × 5 schreiben. Sie können sich leicht andere Zahlen (wie sechs) vorstellen, die Faktoren sind, aber diese sind im obigen Ergebnis enthalten (da 6 = 2 × 3, was in der Liste steht). Aus diesem Grund macht es die Dinge einfacher, zu Primfaktoren zu gehen.
Berechnen und Prüfen von Coprimes
Verwenden Sie Ihre Liste der Primfaktoren, um eine alternative Zahl zu erzeugen, die keine Faktoren mit der ersten teilt (außer eins und der ursprünglichen Zahl). Für 35 gibt es außer eins und 35 die Faktoren fünf und sieben, also wissen Sie, dass jede Zahl, die aus verschiedenen Primzahlen besteht, teilerfremd ist.
Sie können zum Beispiel Koprimzahlen erzeugen, indem Sie 2, 3, 11, 13 usw. multiplizieren, was Folgendes ergibt:
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
2 × 11 = 22
3 × 11 = 33
2 × 13 = 26
3 × 13 = 39
und andere Coprimes
Versuchen Sie mit dem gleichen Verfahren einige Koprimzahlen von 60 zu finden, und beachten Sie, dass 7, 11, 13, 17 usw. akzeptable Primzahlen-„Bausteine“ sind, bevor Sie weiterlesen. Sie sollten (zum Beispiel) 77, 91, 119 und 143 als Coprimes finden. Es gibt noch weitere Tricks, die Sie anwenden können, beispielsweise ist eine Primzahl, die nicht als Primfaktor enthalten ist, immer teilerfremd und zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind immer teilerfremd.
Prüfen Sie, ob zwei Zahlen teilerfremd sind, indem Sie jede einzelne Primfaktorzerlegen und nach gemeinsamen Faktoren suchen. Alternativ können Sie Online-Tools (siehe Ressourcen) verwenden, um den Prozess zu automatisieren.
