In der Geometrie ist ein Achteck ein Polygon mit acht Seiten. Ein regelmäßiges Achteck hat acht gleiche Seiten und gleiche Winkel. Das regelmäßige Achteck erkennt man häufig an Stoppschildern. Ein Oktaeder ist ein achtseitiges Polyeder. Ein regelmäßiges Oktaeder hat acht Dreiecke mit gleich langen Kanten. Es sind effektiv zwei quadratische Pyramiden, die sich an ihrer Basis treffen.
Achteckige Flächenformel
Die Formel für die Fläche eines regelmäßigen Achtecks mit Seitenlänge "a" lautet 2(1+sqrt (2))a^2, wobei "sqrt" die Quadratwurzel angibt.
Ableitung
Ein Achteck kann als 4 Rechtecke betrachtet werden, ein Quadrat in der Mitte und vier gleichschenklige Dreiecke in den Ecken.
Das Quadrat hat die Fläche a^2.
Die Dreiecke haben nach dem Satz des Pythagoras die Seiten a, a/sqrt (2) und a/sqrt (2). Daher hat jeder eine Fläche von a^2/4.
Die Rechtecke haben die Fläche a * a/sqrt (2).
Die Summe dieser 9 Bereiche ist 2a^2 (1 + sqrt (2)).
Oktaeder-Volumenformel
Die Formel für das Volumen eines regelmäßigen Oktaeders der Seiten "a" lautet a^3 * sqrt (2)/3.
Ableitung
Die Fläche einer vierseitigen Pyramide ist Grundfläche * Höhe / 3. Die Fläche eines regelmäßigen Achtecks beträgt demnach 2 * Basis * Höhe / 3.
Basis = a^2 trivial.
Wählen Sie zwei benachbarte Scheitelpunkte aus, sagen Sie "F" und "C". "O" steht in der Mitte. FOC ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit der Basis "a", also haben OC und OF die Länge a/sqrt (2) nach dem Satz des Pythagoras. Also Höhe = a/sqrt (2).
Das Volumen eines regulären Oktaeders ist also 2 * (a^2) * a/sqrt (2) / 3 = a^3 * sqrt (2) / 3.
Oberfläche
Die Oberfläche des regulären Oktaeders ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks der Seite "a" mal 8 Flächen.
Um den Satz des Pythagoras zu verwenden, ziehen Sie eine Linie von der Spitze zur Basis. Dadurch entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse der Länge "a" und einer Seitenlänge "a/2". Daher muss die dritte Seite sqrt[a^2 - a^2/4] = sqrt (3)a/2 sein. Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ist also Höhe * Basis/2 = Quadrat (3)a/2 * a/2 = Quadrat (3)a^2/4.
Bei 8 Seiten beträgt die Oberfläche eines regulären Oktaeders 2 * sqrt (3) * a^2.