Mathematisch ist ein "Mittelwert" ein Durchschnitt. Durchschnitte werden berechnet, um einen Datensatz sinnvoll darzustellen. Ein Meteorologe könnte Ihnen zum Beispiel sagen, dass die Durchschnittstemperatur für den 22. Januar in Chicago 25 Grad F beträgt, basierend auf früheren Daten. Diese Zahl kann die genaue Temperatur für den nächsten 22. Januar in Chicago nicht vorhersagen, aber sie sagt Ihnen genug, um zu wissen, dass Sie eine Jacke einpacken sollten, wenn Sie an diesem Tag nach Chicago reisen. Zwei häufig verwendete Mittel sind das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel. Zu wissen, welches Sie für Ihre Daten verwenden sollten, bedeutet, die Unterschiede zu verstehen.
Formeln zur Berechnung
Der offensichtlichste Unterschied zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel für einen Datensatz besteht darin, wie sie berechnet werden. Das arithmetische Mittel wird berechnet, indem alle Zahlen in einem Datensatz addiert und das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Datenpunkte geteilt wird.
Beispiel: Arithmetisches Mittel von 11, 13, 17 und 1.000 = (11 + 13 + 17 + 1.000) / 4 = 260,25
Der geometrische Mittelwert eines Datensatzes wird berechnet, indem die Zahlen im Datensatz multipliziert werden und die n-te Wurzel des Ergebnisses gezogen wird, wobei "n" die Gesamtzahl der Datenpunkte im Datensatz ist.
Beispiel: Geometrisches Mittel von 11, 13, 17 und 1.000 = 4. Wurzel von (11 x 13 x 17 x 1.000) = 39,5
Die Wirkung von Ausreißern
Betrachtet man die Ergebnisse der Berechnungen des arithmetischen Mittels und des geometrischen Mittels, stellt man fest, dass der Einfluss von Ausreißern im geometrischen Mittel stark gedämpft wird. Was bedeutet das? Im Datensatz von 11, 13, 17 und 1.000 wird die Zahl 1.000 als "Ausreißer" bezeichnet, weil ihr Wert viel höher ist als alle anderen. Wenn das arithmetische Mittel berechnet wird, ist das Ergebnis 260,25. Beachten Sie, dass keine Zahl im Datensatz auch nur in der Nähe von 260,25 liegt, sodass das arithmetische Mittel in diesem Fall nicht repräsentativ ist. Die Wirkung des Ausreißers wurde übertrieben. Der geometrische Mittelwert von 39,5 zeigt besser, dass die meisten Zahlen aus dem Datensatz im Bereich von 0 bis 50 liegen.
Verwendet
Statistiker verwenden arithmetische Mittel, um Daten ohne signifikante Ausreißer darzustellen. Diese Art von Mittelwert ist gut für die Darstellung der Durchschnittstemperaturen, da alle Temperaturen für den 22. Januar in Chicago zwischen -50 und 50 Grad F liegen werden. Eine Temperatur von 10.000 Grad F wird einfach nicht passieren. Dinge wie Schlagdurchschnitte und durchschnittliche Rennwagengeschwindigkeiten werden auch mit arithmetischen Mitteln gut dargestellt.
Geometrische Mittelwerte werden in Fällen verwendet, in denen die Unterschiede zwischen den Datenpunkten logarithmisch sind oder um ein Vielfaches von 10 variieren. Biologen verwenden geometrische Mittel, um die Größe von Bakterienpopulationen zu beschreiben, die an einem Tag 20 und am nächsten 20.000 Organismen sein können. Ökonomen können mit geometrischen Mitteln Einkommensverteilungen beschreiben. Sie und die meisten Ihrer Nachbarn verdienen vielleicht 65.000 Dollar pro Jahr, aber was ist, wenn der Typ oben auf dem Hügel 65 Millionen Dollar pro Jahr verdient? Der arithmetische Mittelwert des Einkommens in Ihrer Nachbarschaft wäre hier irreführend, daher wäre ein geometrischer Mittelwert besser geeignet.