Lineare Gleichungen (Gleichungen, deren Graphen eine Linie sind) können in mehreren Formaten geschrieben werden, aber dieStandardformeiner linearen Gleichung sieht so aus:
Ax + By = C
EIN, BundCkann eine beliebige Zahl sein - einschließlich negativer Zahlen, Null und Eins! Beispiele für Standardformulare können also wie folgt aussehen:
3x + 7y = 10
woEIN = 3, B= 7 undC = 10.
Oder sie können so aussehen:
x + 5y = 6
In diesem Fall,EIN = 1, B= 5 undC = 6.
Oder dieses:
8j = 9
In diesem Fall,EIN= 0, deshalbxkommt in der Gleichung nicht vor.B= 8 undC= 9, wie zu erwarten.
Und hier noch eins:
3x − 5y = 12
Hier,EIN = 3, B= −5 undC= 12. Beachten Sie, dass in diesem FallBist minus fünf!
Die Standardform einer linearen Gleichung istAxt + Durch = C, woEIN, BundCkann eine beliebige Zahl sein.
Warum das Standardformular nützlich ist
Das Standardformular eignet sich hervorragend zum Auffinden derxundjafängt abeines Graphen, d. h. der Punkt, an dem der Graph diex-Achse und der Punkt, an dem sie die
ja-Achse. Auch beim Lösen von Gleichungssystemen – Finden des Schnittpunkts von zwei oder mehr Funktionen – werden die Gleichungen oft in Standardform geschrieben.Eine Gleichung in eine Standardform umwandeln
Sie können eine Gleichung, die in anderen Formaten geschrieben ist, in eine Standardform umwandeln. Sie können eine Gleichung auch in Standardform schreiben, wenn Sie nur zwei Punkte auf einer Linie erhalten, obwohl dies am einfachsten darin besteht, zuerst andere Formate durchzugehen. In diesem nächsten Beispiel behandeln wir beides: Schreiben Sie eine Gleichung in Standardform, wenn Sie nur zwei Punkte erhalten, und ändern Sie andere Gleichungsformate in die Standardform.
Beispiel: Nehmen Sie diese beiden Punkte: (1,1) und (2,3) und schreiben Sie die Geradengleichung in Standardform.
Wir gehen diese Schritte durch:
- Finden Sie die Steigung.
- Schreiben Sie die Gleichung in Punkt-Steigungs-Form.
- Verwandeln Sie die Gleichung in eine Steigungsabschnittsform.
- Verwandeln Sie die Gleichung in die Standardform.
DasSteigungSo steil ist unsere Linie. In algebraischer Hinsicht ist es die Veränderung injageteilt durch die Änderung in changex. Wenn wir zwei Punkte haben, (x1, ja1) und (x2, ja2), die Steigung ist:
\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Für unser Beispiel sind unsere Punkte also (1,1) und (2,3), also ist die Steigung:
\begin{aligned} \text{slope} &= \frac{3 - 1}{2 - 1} \\ \,\\ &=\frac{2}{1} = 2 \end{aligned}
Erinnere dich daranPunkt-Steigung-Formsieht aus wie das:
y – y_1 = m (x – x_1).
xundjasind nur unsere Variablen, aberx1 undja1 sind die Koordinaten eines bestimmten Punktes auf der Linie undichist die Steigung.
Setzen wir also die Steigung aus unserem Beispiel und einen unserer Punkte (1,1) ein, um eine Punkt-Steigungs-Gleichungsform zu erstellen.
Punkt-Steigungs-Form:
y - 1 = 2(x - 1)
Vereinfachen Sie nun:
y - 1 = 2x - 2
Steigungsschnittformhat dieses Format:
y = mx + b
woichist die Steigung der Geraden undbist derja-abfangen.
Um von der Punkt-Steigungs-Form zur Steigungs-Schnittpunkt-Form zu gelangen, wollen wirjaselbst auf der linken Seite der Gleichung.
Im Moment haben wirja − 1 = 2x− 2. Also fügen wir 1 zu beiden Seiten hinzu, damit wir bekommen könnenjavon selbst:
y = 2x − 1
Als wir 1 auf der linken Seite hinzugefügt haben, wurde es durch die -1 aufgehoben. Als wir auf der rechten Seite 1 hinzugefügt haben, haben wir es zu der bereits vorhandenen Konstanten hinzugefügt und erhalten −2 + 1 = −1.
Denken Sie daran, dass das Standardformular wie folgt aussieht:
Ax + By = C
Also lass uns unsere 2 verschiebenxauf die andere Seite des Gleichheitszeichens durch Subtraktion von 2xvon beiden Seiten:
-2x + y = 2
Als wir 2. abgezogen habenxauf der rechten Seite ist es ausgeblendet. Wenn wir es links abgezogen haben, haben wir es vor dasjaes ist also in unserer hübschen Standardform.
Die Standardform dieser Gleichung ist also −2x + ja= 2, wobeiEIN = −2, B= 1 undC = 2.
Herzliche Glückwünsche! Sie haben gerade eine Gleichung von der Steigungsabschnittsform in die Standardform umgewandelt und gelernt, wie man eine Gleichung in Standardform mit nur zwei Punkten schreibt.