In der Mathematik wird ein Gegenbeispiel verwendet, um eine Aussage zu widerlegen. Wenn Sie beweisen wollen, dass eine Aussage wahr ist, müssen Sie einen Beweis schreiben, um zu beweisen, dass sie immer wahr ist; ein Beispiel zu nennen ist nicht ausreichend. Im Vergleich zum Schreiben eines Beweises ist das Schreiben eines Gegenbeispiels viel einfacher; Wenn Sie zeigen möchten, dass eine Aussage nicht wahr ist, müssen Sie nur ein Beispiel für ein Szenario angeben, in dem die Aussage falsch ist. Die meisten Gegenbeispiele in der Algebra beinhalten numerische Manipulationen.
Zwei Klassen der Mathematik
Das Verfassen von Beweisen und das Finden von Gegenbeispielen sind zwei der primären Klassen der Mathematik. Die meisten Mathematiker konzentrieren sich auf das Schreiben von Korrekturen, um neue Theoreme und Eigenschaften zu entwickeln. Wenn Aussagen oder Vermutungen nicht bewiesen werden können, widerlegen Mathematiker sie durch Gegenbeispiele.
Gegenbeispiele sind konkret
Anstatt Variablen und abstrakte Notationen zu verwenden, können Sie numerische Beispiele verwenden, um ein Argument zu widerlegen. In der Algebra beinhalten die meisten Gegenbeispiele Manipulationen mit verschiedenen positiven und negativen oder ungeraden und geraden Zahlen, Extremfällen und Sonderzahlen wie 0 und 1.
Ein Gegenbeispiel ist ausreichend
Die Philosophie des Gegenbeispiels ist, dass, wenn in einem Szenario die Aussage nicht zutrifft, die Aussage falsch ist. Ein nicht-mathematisches Beispiel ist "Tom hat noch nie gelogen." Um zu beweisen, dass diese Aussage wahr ist, müssen Sie den "Beweis" erbringen, dass Tom nie gelogen hat, indem Sie jede Aussage, die Tom jemals gemacht hat, nachverfolgen. Um diese Aussage zu widerlegen, müssen Sie jedoch nur eine Lüge zeigen, die Tom jemals ausgesprochen hat.
Berühmte Gegenbeispiele
"Alle Primzahlen sind ungerade." Obwohl fast alle Primzahlen, einschließlich aller Primzahlen über 3, ungerade sind, ist "2" eine gerade Primzahl; diese Aussage ist falsch; "2" ist das entsprechende Gegenbeispiel.
"Subtraktion ist kommutativ." Sowohl Addition als auch Multiplikation sind kommutativ – sie können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden. Das heißt, für alle reellen Zahlen a und b gilt a + b = b + a und a * b = b * a. Die Subtraktion ist jedoch nicht kommutativ; ein Gegenbeispiel, das dies beweist, lautet: 3 - 5 ist nicht gleich 5 - 3.
"Jede stetige Funktion ist differenzierbar." Die absolute Funktion |x| ist für alle positiven und negativen Zahlen stetig; aber es ist bei x = 0 nicht differenzierbar; seit |x| eine stetige Funktion ist, beweist dieses Gegenbeispiel, dass nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist.