Während die englischen Wörter „sequence“ und „series“ ähnliche Bedeutungen haben, handelt es sich in der Mathematik um völlig unterschiedliche Konzepte. Eine Folge ist eine Liste von Zahlen, die in einer definierten Reihenfolge angeordnet sind, während eine Reihe die Summe einer solchen Zahlenliste ist. Es gibt viele Arten von Folgen, einschließlich solcher, die auf unendlichen Zahlenlisten basieren. Unterschiedliche Sequenzen und die entsprechenden Serien haben unterschiedliche Eigenschaften und können überraschende Ergebnisse liefern.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Folgen sind Listen von Zahlen, die nach bestimmten Regeln in eine bestimmte Reihenfolge gebracht werden. Die einer Folge entsprechende Reihe ist die Summe der Zahlen in dieser Folge. Reihen können arithmetisch sein, was bedeutet, dass es einen festen Unterschied zwischen den Zahlen der Reihe gibt, oder geometrisch, was bedeutet, dass es einen festen Faktor gibt. Unendliche Reihen haben keine endgültige Zahl, können aber unter bestimmten Bedingungen eine feste Summe haben.
Arten von Sequenzen und Serien
Übliche Folgen sind arithmetisch oder geometrisch. In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl oder jeder Term der Folge um den gleichen Betrag vom vorherigen Term. Wenn beispielsweise eine arithmetische Sequenzdifferenz 2 ist, könnte eine entsprechende arithmetische Sequenz 1, 3, 5... sein. Wenn die Differenz -3 beträgt, könnte eine Sequenz 4, 1, -2... sein. Die arithmetische Reihenfolge wird durch die Startnummer und die Differenz definiert.
Bei geometrischen Folgen unterscheiden sich die Terme um einen Faktor. Eine Sequenz mit einem Faktor von 2 könnte beispielsweise 2, 4, 8... sein. und eine Sequenz mit einem Faktor von 0,75 könnte 32, 24, 18... sein. Die geometrische Reihenfolge wird durch die Startnummer und den Faktor definiert.
Die Serientypen hängen von der hinzugefügten Sequenz ab. Eine arithmetische Reihe fügt die Terme einer arithmetischen Folge hinzu und eine geometrische Reihe fügt eine geometrische Folge hinzu.
Endliche und unendliche Folgen und Reihen
Sequenzen und die entsprechenden Reihen können auf einer festen Anzahl von Termen oder einer unendlichen Anzahl basieren. Eine endliche Folge hat eine Startzahl, eine Differenz oder einen Faktor und eine feste Gesamtzahl von Termen. Die erste arithmetische Folge oben mit acht Termen wäre beispielsweise 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Die erste geometrische Folge oben mit sechs Termen wäre 2, 4, 8, 16, 32, 64. Die entsprechende arithmetische Reihe hätte den Wert 64 und die geometrische Reihe 126. Unendliche Folgen haben keine feste Anzahl von Termen, und ihre Terme können bis ins Unendliche anwachsen, auf Null sinken oder sich einem festen Wert nähern. Die entsprechende Reihe kann auch ein unendliches, Null- oder festes Ergebnis haben.
Konvergente und divergente Reihen
Unendliche Reihen sind divergent, wenn die Summe mit zunehmender Anzahl von Termen gegen unendlich geht. Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn sich ihre Summe einem nicht unendlichen Wert wie Null oder einer anderen festen Zahl nähert. Reihen sind konvergent, wenn die Terme der zugrunde liegenden Folge schnell gegen Null gehen.
Die Reihe, die die Terme der unendlichen Folge 1, 2, 4... ist divergent, weil die Terme der Folge weiter wachsen, wodurch die Summe mit zunehmender Anzahl von Termen einen unendlichen Wert erreichen kann. Die Serie 1, 0,5, 0,25... ist konvergent, weil die Terme schnell sehr klein werden.
Während Sequenzen geordnete Zahlenlisten und Reihen Summen sind, können beide wichtige Werkzeuge in das Auswerten von Zahlenmengen, und die Eigenschaften der Konvergenz oder Divergenz können ein echtes Leben haben Auswirkungen. Eine divergente Reihe stellt oft einen instabilen Zustand dar, während eine konvergente Reihe oft bedeutet, dass ein Prozess oder eine Struktur stabil ist.