Sådan løses en kvadratisk rodligning

Kvadratroden af ​​et tal er en værdi, der, når den ganges med sig selv, giver det oprindelige tal. F.eks. Er kvadratroden på 0 0, kvadratroden på 100 er 10 og kvadratroden på 50 er 7.071. Nogle gange kan du finde ud af eller simpelthen huske kvadratroden af ​​et tal, der i sig selv er et "perfekt kvadrat", som er produktet af et heltal ganget med sig selv; når du udvikler dig gennem dine studier, vil du sandsynligvis udvikle en mental liste over disse tal (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemer med firkantede rødder er uundværlige inden for ingeniørarbejde, beregning og stort set enhver verden af ​​den moderne verden. Selvom du nemt kan finde regnemaskiner til kvadratrodligning online (se ressourcer for et eksempel), er det vigtigt at løse kvadratrodligninger dygtighed inden for algebra, fordi det giver dig mulighed for at blive fortrolig med at bruge radikaler og arbejde med en række problemtyper uden for kvadratrødderne i sig selv.

At multiplicere to negative tal sammen giver et positivt tal, er vigtigt i verdenen af ​​kvadratrødder, fordi det antyder at positive tal faktisk har to kvadratrødder (for eksempel kvadratrødderne på 16 er 4 og -4, selvom kun den førstnævnte er intuitiv). Tilsvarende har negative tal ikke rigtige kvadratrødder, fordi der ikke er noget reelt tal, der får en negativ værdi, når den ganges med sig selv. I denne præsentation vil den negative kvadratrod af et positivt tal blive ignoreret, så "kvadratrod af 361" kan tages som "19" snarere end "−19 og 19."

Når du prøver at estimere værdien af ​​en kvadratrode, når ingen lommeregner er praktisk, er det også vigtigt at indse, at funktioner, der involverer kvadrater og kvadratrødder, ikke er lineære. Du kan se mere om dette i afsnittet om grafer senere, men som et groft eksempel har du allerede observeret, at kvadratroden på 100 er 10, og kvadratroden på 0 er 0. På synet kan dette få dig til at gætte på, at kvadratroden for 50 (som er halvvejs mellem 0 og 100) skal være 5 (som er halvvejs mellem 0 og 10). Men du har også allerede lært, at kvadratroden på 50 er 7.071.

Endelig har du muligvis internaliseret ideen om at multiplicere to tal sammen giver et tal større end sig selv, hvilket antyder, at kvadratrødder af tal altid er mindre end originalen nummer. Dette er ikke tilfældet! Tal mellem 0 og 1 har også kvadratrødder, og kvadratroden er i alle tilfælde større end det oprindelige tal. Dette vises nemmest ved hjælp af brøker. For eksempel har 16/25 eller 0,64 en perfekt firkant i både tælleren og nævneren. Dette betyder, at kvadratroden af ​​fraktionen er kvadratroden af ​​dens top- og bundkomponenter, som er 4/5. Dette er lig med 0,80, et større antal end 0,64.

"Kvadratroden afx"skrives normalt ved hjælp af det, der kaldes et radikalt tegn eller bare et radikal (√). Således for enhverx​:

repræsenterer dens kvadratrod. Vender dette rundt, firkanten af ​​et talxer skrevet ved hjælp af en eksponent på 2 (x​²). Eksponenter tager overskrifter på tekstbehandling og relaterede applikationer og kaldes også beføjelser. Fordi radikale tegn ikke altid er lette at producere efter behov, en anden måde at skrive "kvadratroden afx"er at bruge en eksponent:

Dette er igen en del af en generel ordning:

betyder "hævextil kraften iy, tag derefter 'z'rod af det. "x​^1/2 betyder således "hævextil den første magt, som simpelthen erxigen, og tag derefter 2-roden af ​​den eller kvadratroden. "Udvid dette,x​^(5/3) betyder "hævextil kraften 5, og find derefter den tredje rod (eller terningrod) af resultatet. "

Radikaler kan bruges til at repræsentere andre rødder end 2, kvadratroden. Dette gøres ved simpelthen at tilføje et overskrift øverst til venstre for radikalen.

repræsenterer derefter det samme antal somx​^(5/3) fra det foregående afsnit gør.

De fleste kvadratrødder er irrationelle tal. Dette betyder, at de ikke kun er pæne, pæne heltal (f.eks. 1, 2, 3, 4.. .), men de kan heller ikke udtrykkes som et pænt decimaltal, der slutter uden at skulle afrundes. Et rationelt tal kan udtrykkes som en brøkdel. Så selvom 2,75 ikke er et heltal, er det et rationelt tal, fordi det er det samme som fraktionen 11/4. Du fik at vide tidligere, at kvadratroden på 50 er 7.071, men dette afrundes faktisk fra et uendeligt antal decimaler. Den nøjagtige værdi af √50 er 5√2, og du vil se, hvordan dette snart bestemmes.

Du har allerede set, at ligninger i involvering af kvadrater og kvadratrødder er ikke-lineære. En nem måde at huske dette på er, at graferne over løsningerne i disse ligninger ikke er linjer. Dette giver mening, for hvis kvadratet på 0 som sagt er 0 og kvadratet på 10 er 100, men kvadratet af 5 er ikke 50, grafen, der er resultatet af simpelthen at kvadrere et tal, skal kurve sig til det rigtige værdier.

Dette er tilfældet med grafen for

som du selv kan se ved at besøge lommeregneren i ressourcerne og ændre parametrene. Linjen passerer gennem punktet (0,0), og y går ikke under 0, hvilket du kan forvente, fordi du ved detx​² er aldrig negativ. Du kan også se, at grafen er symmetrisk omkringy-aks, hvilket også giver mening, fordi hver positive kvadratrod af et givet tal ledsages af en negativ kvadratrod af samme størrelse. Derfor, med undtagelse af 0, hveryværdi på grafen fory​ = ​x​² er forbundet med tox-værdier.

En måde at tackle grundlæggende kvadratrodsproblemer i hånden er at lede efter perfekte firkanter "skjult" inde i problemet. For det første er det vigtigt at være opmærksom på nogle få vitale egenskaber ved firkanter og kvadratrødder. En af disse er, ligesom √x​² er simpelthen lig medx(fordi den radikale og eksponenten annullerer hinanden):

Det vil sige, hvis du har en perfekt firkant under en radikal, der multiplicerer et andet tal, kan du "trække det ud" og bruge det som en koefficient for det, der er tilbage. For eksempel at vende tilbage til kvadratroden på 50

Nogle gange kan du afslutte med et tal, der involverer kvadratrødder, der udtrykkes som en brøkdel, men stadig er et irrationelt tal, fordi nævneren, tælleren eller begge indeholder en radikal. I sådanne tilfælde kan du blive bedt om at rationalisere nævneren. For eksempel antallet

har en radikal i både tælleren og nævneren. Men efter at have undersøgt "45" kan du muligvis genkende det som produktet i 9 og 5, hvilket betyder det

Derfor kan fraktionen skrives

Radikaler annullerer hinanden, og du er tilbage med 6/3 = 2.