Når du begynder at løse algebraiske ligninger, der involverer polynomier, bliver evnen til at genkende specielle, letfaktoriserede former for polynomier meget nyttige. En af de mest nyttige "letfaktor" polynomer at få øje på er den perfekte firkant eller det trinomiale, der skyldes kvadrering af et binomium. Når du først har identificeret en perfekt firkant, er det ofte en vigtig del af problemløsningsprocessen at indregne det i dets individuelle komponenter.
Før du kan faktorere et perfekt kvadratisk trinomial, skal du lære at genkende det. En perfekt firkant kan antage en af to former
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, som er produktet af} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ tekst {, hvilket er produktet af} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Tjek trinomiets første og tredje termer. Er de begge firkanter? Hvis ja, skal du finde ud af, hvad de er firkanter af. For eksempel i det andet "virkelige verden" eksempel ovenfor:
y ^ 2 - 2y + 1
begrebety2 er tydeligvis kvadratet afy.Udtrykket 1 er måske mindre tydeligt kvadratet på 1, fordi 12 = 1.
Multiplicer rødderne af første og tredje termer sammen. For at fortsætte eksemplet er detyog 1, som giver digy × 1 = 1yeller simpeltheny.
Derefter multiplicerer du dit produkt med 2. Fortsætter du eksemplet, har du 2y.
Endelig sammenlign resultatet af det sidste trin med polynomets mellemfrist. Matcher de? I polynomety2 – 2y+ 1, det gør de. (Tegnet er irrelevant; det ville også være en kamp, hvis mellemperioden var +2y.)
Fordi svaret i trin 1 var "ja", og dit resultat fra trin 2 matcher polynomets mellemliggende sigt, ved du, at du ser på et perfekt kvadratisk trinomium.
Når du først ved, at du ser på et perfekt firkantet trinomial, er processen med at faktorisere det ret ligetil.
Identificer rødderne, eller antallet, der er kvadreret, i trinomiets første og tredje termer. Overvej et andet af dine eksempler på trinomier, som du allerede ved, er et perfekt kvadrat:
x ^ 2 + 8x + 16
Det er klart, at antallet, der kvadreres i første periode, erx. Antallet i kvadrat i tredje periode er 4, fordi 42 = 16.
Tænk tilbage på formlerne til perfekte firkantede trinomier. Du ved, at dine faktorer vil have enten form (-en + b)(-en + b) eller formularen (-en – b)(-en – b), hvor-enogber tallene kvadreret i første og tredje periode. Så du kan skrive dine faktorer ud således, udelade tegnene midt i hver periode for nu:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
For at fortsætte eksemplet ved at erstatte rødderne til dit nuværende trinomial har du:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Kontroller trinomialets mellemperiode. Har det et positivt tegn eller et negativt tegn (eller, for at sige det på en anden måde, tilføjes eller trækkes det)? Hvis det har et positivt tegn (eller tilføjes), har begge trinomialfaktorer et plustegn i midten. Hvis det har et negativt tegn (eller trækkes fra), har begge faktorer et negativt tegn i midten.
Den midterste sigt for det nuværende eksempel trinomial er 8x- det er positivt - så du har nu indregnet det perfekte firkantede trinomial:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Tjek dit arbejde ved at gange de to faktorer sammen. Anvendelse af FOIL eller første, ydre, indre, sidste metode giver dig:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Forenkling af dette giver resultatetx2 + 8x+ 16, der matcher dit trinomial. Så faktorerne er korrekte.