Det er undertiden nødvendigt at finde en ikke-nul-vektor, der, når den ganges med en firkantet matrix, giver os et multiplum af vektoren tilbage. Denne ikke-nul-vektor kaldes en "egenvektor." Eigenvektorer er ikke kun af interesse for matematikere, men for andre inden for erhverv som fysik og teknik. For at beregne dem skal du forstå matrixalgebra og determinanter.
Lær og forstå definitionen af en "egenvektor." Det findes for en n x n kvadratisk matrix A og også for en skalar egenværdi kaldet "lambda". Lambda er repræsenteret af det græske bogstav, men her forkortes det til L. Hvis der er en ikke-nul-vektor x, hvor Ax = Lx, kaldes denne vektor x en "egenværdi af A."
Find matrixens egenværdier ved hjælp af den karakteristiske ligning det (A - LI) = 0. "Det" står for determinanten, og "jeg" er identitetsmatrixen.
Beregn egenvektoren for hver egenværdi ved at finde et egenrum E (L), som er nullrummet for den karakteristiske ligning. De ikke-nul-vektorer af E (L) er egenvektorerne af A. Disse findes ved at slutte egenvektorerne tilbage i den karakteristiske matrix og finde et grundlag for A - LI = 0.
Beregn egenværdierne ved hjælp af den karakteristiske ligning. Det (A - LI) er (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, hvilket er det karakteristiske polynom. At løse dette algebraisk giver os L1 = 4 og L2 = 2, som er egenværdierne i vores matrix.
Find egenvektoren for L = 4 ved at beregne nulrummet. Gør dette ved at placere L1 = 4 i den karakteristiske matrix og finde grundlaget for A - 4I = 0. Løsning af dette finder vi x - y = 0 eller x = y. Dette har kun en uafhængig løsning, da de er ens, såsom x = y = 1. Derfor er v1 = (1,1) en egenvektor, der spænder over ejensområdet for L1 = 4.
Gentag trin 6 for at finde egenvektoren til L2 = 2. Vi finder x + y = 0 eller x = --y. Dette har også en uafhængig løsning, siger x = -1 og y = 1. Derfor er v2 = (--1,1) en egenvektor, der spænder over egenrummet for L2 = 2.