En Taylor-serie er en numerisk metode til at repræsentere en given funktion. Denne metode kan anvendes inden for mange tekniske områder. I nogle tilfælde, såsom varmeoverførsel, resulterer differentiel analyse i en ligning, der passer til formen af en Taylor-serie. En Taylor-serie kan også repræsentere en integral, hvis integriteten af denne funktion ikke eksisterer analytisk. Disse repræsentationer er ikke nøjagtige værdier, men beregning af flere udtryk i serien gør tilnærmelsen mere præcis.
Vælg et center til Taylor-serien. Dette tal er vilkårligt, men det er en god ide at vælge et center, hvor der er symmetri i funktionen, eller hvor værdien for centret forenkler problemets matematik. Hvis du beregner Taylor-serierepræsentationen af f (x) = sin (x), er et godt center at bruge a = 0.
Bestem antallet af udtryk, du vil beregne. Jo flere udtryk du bruger, jo mere præcis bliver din repræsentation, men da en Taylor-serie er en uendelig serie, er det umuligt at medtage alle de mulige udtryk. Sin (x) -eksemplet bruger seks udtryk.
Beregn de derivater, du har brug for til serien. I dette eksempel skal du beregne alle derivater op til det sjette derivat. Da Taylor-serien starter ved "n = 0", skal du inkludere "0" -derivatet, som kun er den oprindelige funktion. 0. afledt = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Beregn værdien for hvert derivat i det valgte center. Disse værdier er tællerne for de første seks termer i Taylor-serien. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Brug afledte beregninger og center for at bestemme Taylor-seriens termer. 1. valgperiode; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. periode; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. valgperiode; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. valgperiode; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. valgperiode; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. valgperiode; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-serie for sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Slip nuludtrykkene i serien og forenkle udtrykket algebraisk for at bestemme den forenklede repræsentation af funktionen. Dette vil være en helt anden serie, så de tidligere anvendte værdier for "n" gælder ikke længere. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Da tegnene skifter mellem positivt og negativt, skal den første komponent i den forenklede ligning være (-1) ^ n, da der ikke er lige tal i serien. Udtrykket (-1) ^ n resulterer i et negativt tegn, når n er ulige, og et positivt tegn, når n er lige. Serierepræsentationen af ulige tal er (2n + 1). Når n = 0, er dette udtryk lig med 1; når n = 1, er dette udtryk lig med 3 og så videre til uendelig. I dette eksempel skal du bruge denne repræsentation til eksponenterne for x og factorials i nævneren
Brug gengivelsen af funktionen i stedet for den oprindelige funktion. For mere avancerede og vanskeligere ligninger kan en Taylor-serie gøre en uløselig ligning opløselig eller i det mindste give en rimelig numerisk løsning.