En positiv eksponent fortæller dig, hvor mange gange basisnummeret skal multipliceres med sig selv. For eksempel det eksponentielle udtryky3 er det samme somy × y × y, elleryganget med sig selv to gange. Når du først har forstået det grundlæggende koncept, kan du begynde at tilføje ekstra lag som negative eksponenter, fraktionerede eksponenter eller endda en kombination af begge.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En negativ, fraktioneret eksponenty −m/n kan indregnes i form:
1 / (n√y)m
Faktorering af negative kræfter
Før vi tager i betragtning negative, fraktionerede eksponenter, lad os tage et hurtigt kig på, hvordan man faktorerer negative eksponenter eller negative kræfter generelt. En negativ eksponent gør nøjagtigt det omvendte af en positiv eksponent. Så mens en positiv eksponent som-en4 fortæller dig at formere dig-eni sig selv tre gange (så der er fire i alt i udtrykket) eller-en × -en × -en × en,at se en negativ eksponent fortæller dig detdeleved-enfire gange: så
a ^ {- 4} = \ frac {1} {a × a × a × a}
Eller for at sige det mere formelt:
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
Faktorering af fraktionerede eksponenter
Det næste trin er at lære at faktorere fraktionerede eksponenter. Lad os starte med en meget simpel fraktioneret eksponent, som f.eksx1/y. Når du ser en fraktioneret eksponent som denne, betyder det, at du skal tageyth rod af basisnummeret. For at sige det mere formelt:
x ^ {1 / y} = \ sqrt [y] {x}
Hvis det virker forvirrende, kan et par mere konkrete eksempler hjælpe:
y ^ {1/3} = \ sqrt [3] {y} \\ b ^ {1/2} = \ sqrt {b}
(Husk, √xer det samme som 2√x;men dette udtryk er så almindeligt, at 2eller indeksnummer udelades.)
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Hvad hvis tælleren for brøkeksponenten ikke er 1? Derefter forbliver nummerets værdi som en eksponent, anvendt på hele "rod" -udtrykket. Formelt set betyder det:
y ^ {m / n} = (\ sqrt [n] {y}) ^ m
Som et mere konkret eksempel, overvej dette:
a ^ {b / 5} = (\ sqrt [5] {a}) ^ b
Kombination af negative og fraktionerede eksponenter
Når det kommer til faktorisering af negative fraktionerede eksponenter, kan du kombinere det, du har lært om factoring-udtryk, med negative eksponenter og dem med fraktionerede eksponenter.
Husk,
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
uanset hvad der er iyfå øje på;ykunne endda være en brøkdel.
Så hvis du har et udtrykx −-en/b, det er lig med 1 / (x-en/b). Men du kan forenkle et skridt videre ved også at anvende det, du kender til fraktionerede eksponenter, til udtrykket i nævneren for fraktionen.
Husk,
y ^ {m / n} = (\ sqrt [n] {y}) ^ m
eller for at bruge de variabler, du allerede har at gøre med,
x ^ {a / b} = (\ sqrt [b] {x}) ^ a
Så går det yderligere skridt i at forenklex −-en/b, du har
x ^ {- a / b} = \ frac {1} {x ^ {a / b}} = \ frac {1} {(\ sqrt [b] {x}) ^ a}
Det er så vidt du kan forenkle uden at vide mere omx, belleren.Men hvis du ved mere om nogen af disse vilkår, kan du muligvis forenkle yderligere.
Et andet eksempel på at forenkle fraktionerede negative eksponenter
For at illustrere det er her endnu et eksempel med lidt mere information tilføjet:
Forenkle
16^{-4/8}
For det første bemærkede du, at −4/8 kan reduceres til −1/2? Så du har 16 −1/2, som allerede ser meget venligere ud (og måske endnu mere velkendt) end det oprindelige problem.
Når du forenkler som før, ankommer du til
16 ^ {- 1/2} = \ frac {1} {(\ sqrt [2] {16}) ^ 1}
som normalt er skrevet som
\ frac {1} {\ sqrt {16}}
Og da du ved (eller hurtigt kan beregne), at √16 = 4, kan du forenkle det sidste trin til:
16 ^ {- 4/8} = \ frac {1} {4}