Løsning af uligheder med absolut værdi er meget som at løse absolutte værdi ligninger, men der er et par ekstra detaljer at huske på. Det hjælper med at allerede være komfortabel med at løse absolutte værdi ligninger, men det er okay, hvis du også lærer dem sammen!
Definition af absolut ulighed
Først og fremmest enulighed i absolut værdier en ulighed, der involverer et absolut værdiudtryk. For eksempel,
| 5 + x | - 10> 6
er en absolut værdiulighed, fordi den har et ulighedstegn,> og et absolut udtryk, | 5 +x |.
Sådan løses en ulighed med absolut værdi
Dettrin til løsning af en absolut ulighed i værdienligner trinene til løsning af en ligning med absolut værdi:
Trin 1:Isoler det absolutte værdiudtryk på den ene side af uligheden.
Trin 2:Løs den positive "version" af uligheden.
Trin 3:Løs den negative "version" af uligheden ved at gange antallet på den anden side af uligheden med −1 og vende ulighedstegnet.
Det er meget at tage med på én gang, så her er et eksempel, der fører dig gennem trinnene.
Løs uligheden forx:
| 5 + 5x | - 3> 2
For at gøre dette skal du få | 5 + 5x| i sig selv på venstre side af uligheden. Alt du skal gøre er at tilføje 3 til hver side:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nu er der to "versioner" af den ulighed, som vi skal løse: den positive "version" og den negative "version."
For dette trin antager vi, at tingene er som de ser ud: at 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Dette er en simpel ulighed; du skal bare løse forxsom sædvanligt. Træk 5 fra begge sider, og del derefter begge sider med 5.
\ begin {justeret} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5-5 \ quad \ text {(fratræk fem fra begge sider)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(divider begge sider med fem)} \\ & x> 0 \ end {justeret}
Ikke dårligt! Så en mulig løsning på vores ulighed er denx> 0. Nu, da der er absolutte værdier involveret, er det tid til at overveje en anden mulighed.
For at forstå denne næste bit hjælper det med at huske, hvad absolut værdi betyder.Absolut værdimåler et tal afstand fra nul. Afstanden er altid positiv, så 9 er ni enheder væk fra nul, men −9 er også ni enheder væk fra nul.
Så | 9 | = 9, men | −9 | = 9 også.
Nu tilbage til ovenstående problem. Arbejdet ovenfor viste, at | 5 + 5x| > 5; med andre ord, den absolutte værdi af "noget" er større end fem. Nu vil ethvert positivt tal større end fem være længere væk fra nul end fem er. Så den første mulighed var, at "noget", 5 + 5x, er større end 5.
Det er:
5 + 5x> 5
Det er scenariet, der er behandlet ovenfor i trin 2.
Tænk nu lidt længere. Hvad er der ellers fem enheder væk fra nul? Nå, negativ fem er. Og noget længere langs talelinjen fra negativ fem vil være endnu længere væk fra nul. Så vores "noget" kunne være et negativt tal, der er længere væk fra nul end minus fem. Det betyder, at det ville være et større lydende nummer, men teknisk setMindre endnegativ fem, fordi den bevæger sig i den negative retning på talelinjen.
Så vores "noget", 5 + 5x, kunne være mindre end -5.
5 + 5x
Den hurtige måde at gøre dette algebraisk på er at multiplicere størrelsen på den anden side af uligheden, 5, med negativ, og vend derefter ulighedstegnet:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Løs derefter som normalt.
\ begin {justeret} & 5 + 5x
Så de to mulige løsninger på uligheden erx> 0 ellerx< −2. Kontroller dig selv ved at tilslutte et par mulige løsninger for at sikre, at uligheden stadig er sand.
Absolut værdi-ulighed uden løsning
Der er et scenario, hvor der ville væreingen løsninger på en absolut ulighed. Da absolutte værdier altid er positive, kan de ikke være lig med eller mindre end negative tal.
Så |x| ingen løsningfordi resultatet af et absolut værdiudtryk skal være positivt.
Interval Notation
At skrive løsningen til vores hovedeksempel iinterval notation, tænk på, hvordan løsningen ser ud på nummerlinjen. Vores løsning varx> 0 ellerx< −2. På en talelinje er det en åben prik ved 0, med en linje, der strækker sig ud til positiv uendelighed, og en åben prik ved -2, med en linje, der strækker sig væk til negativ uendelighed. Disse løsninger peger væk fra hinanden, ikke mod hinanden, så tag hvert stykke separat.
For x> 0 på en talelinje er der en åben prik ved nul og derefter en linje, der strækker sig ud til uendelig. I intervalnotation er en åben prik illustreret med parenteser, (), og en lukket prik eller uligheder med ≥ eller ≤ vil bruge parenteser, []. Så forx> 0, skriv (0, ∞).
Den anden halvdel,x
"Eller" i intervalnotation er unionstegnet, ∪.
Så løsningen i intervalnotation er
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)