De tre mest anvendte metoder til løsning af ligningssystemer er substitution, eliminering og forstærkede matricer. Substitution og eliminering er enkle metoder, der effektivt kan løse de fleste systemer i to ligninger i et par enkle trin. Metoden til forstærkede matricer kræver flere trin, men dens anvendelse strækker sig til et større udvalg af systemer.
Udskiftning
Substitution er en metode til løsning af ligningssystemer ved at fjerne alle variablerne undtagen en i en af ligningerne og derefter løse denne ligning. Dette opnås ved at isolere den anden variabel i en ligning og derefter erstatte værdierne for disse variabler i anden anden ligning. For eksempel for at løse ligningssystemet x + y = 4, 2x - 3y = 3 skal du isolere variablen x i den første ligning for at få x = 4 - y, erstat derefter denne værdi af y i den anden ligning for at få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denne ligning forenkles til -5y = -5 eller y = 1. Sæt denne værdi i den anden ligning for at finde værdien af x: x + 1 = 4 eller x = 3.
Eliminering
Eliminering er en anden måde at løse ligningssystemer ved at omskrive en af ligningerne i form af kun en variabel. Elimineringsmetoden opnår dette ved at tilføje eller trække ligninger fra hinanden for at fjerne en af variablerne. For eksempel tilføjer ligningerne x + 2y = 3 og 2x - 2y = 3 en ny ligning, 3x = 6 (bemærk, at y-termerne annulleres). Systemet løses derefter ved hjælp af de samme metoder som til substitution. Hvis det er umuligt at annullere variablerne i ligningerne, vil det være nødvendigt at gange hele ligningen med en faktor for at få koefficienterne til at matche.
Augmented Matrix
Augmented matricer kan også bruges til at løse ligningssystemer. Den forstærkede matrix består af rækker for hver ligning, kolonner for hver variabel og en forstørret kolonne, der indeholder den konstante betegnelse på den anden side af ligningen. For eksempel er den forstærkede matrix for ligningssystemet 2x + y = 4, 2x - y = 0 [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Bestemmelse af løsningen
Det næste trin involverer at bruge elementære rækkeoperationer, såsom at multiplicere eller dividere en række med en anden konstant end nul og tilføje eller trække rækker. Målet med disse operationer er at konvertere matrixen til række-echelon-form, hvor den første post, der ikke er nul, i hver række er 1, poster over og under denne post er alle nuller, og den første ikke-nul post for hver række er altid til højre for alle sådanne poster i rækkerne over det. Række-echelonform for ovenstående matrix er [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Værdien af den første variabel gives af den første række (1x + 0y = 1 eller x = 1). Værdien af den anden variabel gives af anden række (0x + 1y = 2 eller y = 2).
Ansøgninger
Substitution og eliminering er enklere metoder til løsning af ligninger og bruges meget oftere end forstærkede matricer i grundlæggende algebra. Substitutionsmetoden er især nyttig, når en af variablerne allerede er isoleret i en af ligningerne. Elimineringsmetoden er nyttig, når koefficienten for en af variablerne er den samme (eller dens negative ækvivalent) i alle ligningerne. Den primære fordel ved forstærkede matricer er, at den kan bruges til at løse systemer med tre eller flere ligninger i situationer, hvor substitution og eliminering enten er umulig eller umulig.
