Hvad er rigtige tal?

De reelle tal er alle tallene på en talelinje, der strækker sig fra negativ uendelighed gennem nul til positiv uendelighed. Denne konstruktion af sættet med reelle tal er ikke vilkårlig, men snarere et resultat af en udvikling fra de naturlige tal, der bruges til tælling. Systemet med naturlige tal har flere uoverensstemmelser, og da beregningerne blev mere komplekse, udvidede nummersystemet til at imødekomme dets begrænsninger. Med reelle tal giver beregninger ensartede resultater, og der er få undtagelser eller begrænsninger, som det var til stede med de mere primitive versioner af nummersystemet.

TL; DR (for lang; Har ikke læst)

Sættet med reelle tal består af alle numrene på en talelinje. Dette inkluderer naturlige tal, heltal, heltal, rationelle tal og irrationelle tal. Det inkluderer ikke imaginære tal eller komplekse tal.

Lukning er egenskaben for et sæt tal, der betyder, at hvis tilladte beregninger udføres på tal, der er medlemmer af sættet, vil svarene også være tal, der er medlemmer af sættet. Sættet siges at være lukket.

Naturlige tal er taltallene, 1, 2, 3..., og sættet med naturlige tal lukkes ikke. Da naturlige tal blev brugt i handel, opstod straks to problemer. Mens de naturlige tal tællede reelle objekter, for eksempel køer, hvis en landmand havde fem køer og solgte fem køer, var der intet naturligt tal for resultatet. Tidlige nummersystemer udviklede meget hurtigt et udtryk for nul for at løse dette problem. Resultatet var systemet med hele tal, som er de naturlige tal plus nul.

Det andet problem var også forbundet med subtraktion. Så længe antallet tællede rigtige genstande såsom køer, kunne landmanden ikke sælge flere køer, end han havde. Men da tal blev abstrakte, gav træk fra større tal fra mindre svar svar uden for systemet med heltal. Som et resultat blev heltal, som er hele tal plus negative naturlige tal, introduceret. Tallsystemet indeholdt nu en komplet tallinje, men kun med heltal.

Beregninger i et lukket nummersystem skal give svar inden for nummersystemet for operationer såsom addition og multiplikation, men også for deres inverse operationer, subtraktion og division. Systemet med heltal er lukket for addition, subtraktion og multiplikation, men ikke for division. Hvis et heltal divideres med et andet heltal, er resultatet ikke altid et heltal.

At dele et lille heltal med et større giver en brøkdel. Sådanne fraktioner blev føjet til nummersystemet som rationelle tal. Rationelle tal defineres som ethvert tal, der kan udtrykkes som et forhold på to heltal. Ethvert vilkårligt decimaltal kan udtrykkes som et rationelt tal. F.eks. Er 2.864 2864/1000 og 0.89632 er 89632 / 100.000. Nummerlinjen syntes nu at være komplet.

Der er tal på talelinjen, der ikke kan udtrykkes som en brøkdel af heltal. Den ene er forholdet mellem siderne af en retvinklet trekant og hypotenusen. Hvis to af siderne af en retvinklet trekant er 1 og 1, er hypotenusen kvadratroden af ​​2. Kvadratroden af ​​to er en uendelig decimal, der ikke gentages. Sådanne tal kaldes irrationelle, og de inkluderer alle reelle tal, der ikke er rationelle. Med denne definition er tallinjen for alle reelle tal komplet, fordi ethvert andet reelt tal, der ikke er rationelt, er inkluderet i definitionen af ​​irrationelt.

Selvom det siges, at den reelle talelinje strækker sig fra negativ til positiv uendelighed, er uendelighed i sig selv ikke en reelt tal, men snarere et koncept for nummersystemet, der definerer det som en større mængde end nogen anden nummer. Matematisk uendelighed er svaret på 1 / x, når x når nul, men deling med nul er ikke defineret. Hvis uendelighed var et tal, ville det føre til modsigelser, fordi uendelighed ikke følger aritmetikens love. For eksempel er uendelighed plus 1 stadig uendelig.

Sættet med reelle tal er lukket for addition, subtraktion, multiplikation og division undtagen for division med nul, som ikke er defineret. Sættet er ikke lukket i mindst en anden handling.

Reglerne for multiplikation i sættet med reelle tal angiver, at multiplikationen af ​​et negativt og et positivt tal giver et negativt tal, mens multiplikationen af ​​positive eller negative tal giver positivt svar. Dette betyder, at det specielle tilfælde at multiplicere et tal med sig selv giver et positivt tal for både positive og negative tal. Det omvendte af dette specielle tilfælde er kvadratroden af ​​et positivt tal, der giver både et positivt og et negativt svar. For kvadratroden af ​​et negativt tal er der intet svar i sættet med reelle tal.

Begrebet sæt af imaginære tal adresserer spørgsmålet om negative kvadratrødder i de reelle tal. Kvadratroden på minus 1 er defineret som i, og alle imaginære tal er multipla af i. For at fuldføre talteorien er sættet med komplekse tal defineret som inkluderende alle reelle og alle imaginære tal. Reelle tal kan fortsat visualiseres på en vandret talelinje, mens imaginære tal er en lodret talelinje, hvor de to krydser hinanden. Komplekse tal er punkter i de to talliniers plan, hver med en reel og en imaginær komponent.