Sættet med reelle tal består af alle numrene på en talelinje. Delsæt kan omfatte enhver samling af tal, men elementerne i en vigtig delmængde skal i det mindste have flere karakteristika til fælles. De fleste af disse delmængder er kun nyttige til specifikke beregninger, men der er nogle få, der har interessante egenskaber, og som hjælper med at forstå, hvordan det reelle talesystem fungerer.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
De vigtigste undergrupper af sættet med reelle tal inkluderer de rationelle og de irrationelle tal. Sættet med rationelle tal kan opdeles i yderligere undergrupper, inklusive de naturlige tal, hele tal og heltal. Andre undergrupper af de reelle tal er lige og ulige tal, primtal og perfekte tal. Alt i alt er der et uendeligt antal delmængder af de reelle tal.
Realtalsundersæt generelt
For ethvert sæt, der indeholder en mængde af n elementer, er antallet af undersæt 2n. Sættet med reelle tal har et uendeligt antal elementer, og derfor er den tilsvarende eksponentielle på 2 også uendelig, hvilket giver et uendeligt antal delmængder.
Mange af disse delmængder kan bruges, når du arbejder med det reelle talesystem og under beregninger, men de er kun nyttige til bestemte formål. For eksempel til beregning af prisen på flere pizzaer til venner kan kun delmængden af numre fra ti til hundrede være af interesse. Et udendørs termometer viser muligvis kun delmængden af temperaturer fra minus 40 til plus 120 grader Fahrenheit. At arbejde med delmængder som disse er nyttigt, fordi ethvert resultat uden for det forventede undersæt sandsynligvis er forkert.
De mere generelle undergrupper af reelle tal klassificerer tal efter deres karakteristika, og disse undergrupper har unikke egenskaber som et resultat. Det reelle talesystem udviklede sig fra delmængder som de naturlige tal, der bruges til at tælle, og sådanne delmængder danner grundlaget for en forståelse af algebra.
Delsæt, der udgør de reelle tal
Sættet med reelle tal består af de rationelle og de irrationelle tal. Rationelle tal er heltal og tal, der kan udtrykkes som en brøkdel. Alle andre reelle tal er irrationelle, og de inkluderer tal som kvadratroden på 2 og tallet pi. Fordi irrationelle tal er defineret som en delmængde af reelle tal, skal alle irrationelle tal være reelle tal.
Rationelle tal kan opdeles i yderligere undersæt. De naturlige tal er tal, der historisk blev brugt til tælling, og de er sekvensen 1, 2, 3 osv. Hele tal er de naturlige tal plus nul. Heltal er heltalene plus de negative naturlige tal.
Andre undergrupper af de rationelle tal inkluderer begreber som lige, ulige, primære og perfekte tal. Lige tal er heltal, der har 2 som faktor; ulige tal er alle de andre heltal. Primtal er heltal, der kun har sig selv og 1 som faktorer. Perfekte tal er heltal, hvis faktorer tilføjer antallet. Det mindste perfekte tal er 6, og dets faktorer, 1, 2 og 3 tilføjer op til 6.
Generelt giver beregninger udført med reelle tal svar på reelle tal, men der er en undtagelse. Der er ikke noget reelt tal, der, når det multipliceres med sig selv, giver et negativt reelt tal som svar. Som et resultat kan kvadratroden af et negativt reelt tal ikke være et reelt tal. Kvadratrødderne til negative reelle tal kaldes imaginære tal, og de er elementerne i et sæt tal helt adskilt fra de reelle tal.
Studiet af delmængderne af reelle tal er en del af talteorien, og det klassificerer tal for at gøre det lettere at forstå, hvordan talteori fungerer. At blive fortrolig med delsæt med reelle tal og deres egenskaber er et godt grundlag for yderligere matematiske studier.