Sådan løses kubiske ligninger

Løsning af polynomfunktioner er en nøglefærdighed for alle, der studerer matematik eller fysik, men det kan være ret udfordrende at få fat i processen - især når det kommer til højere ordensfunktioner. En kubisk funktion er en af ​​de mest udfordrende typer af polynomligning, du muligvis skal løse i hånden. Selvom det måske ikke er så ligetil som at løse en kvadratisk ligning, er der et par metoder du kan bruge til at finde løsningen på en kubisk ligning uden at ty til sider og sider med detaljerede algebra.

En kubisk funktion er et tredje grad polynom. En generel polynomfunktion har formen:

Her, x er variablen, n er simpelthen et vilkårligt tal (og graden af ​​polynomet), k er en konstant, og de andre bogstaver er konstante koefficienter for hver styrke af x. Så en kubisk funktion har n = 3, og er simpelthen:

Hvor i dette tilfælde d er konstant. Når du skal løse en kubisk ligning, vil du generelt blive præsenteret for den i form:

Hver løsning til x kaldes en "rod" af ligningen. Kubiske ligninger har enten en reel rod eller tre, selvom de kan gentages, men der er altid mindst en løsning.

Ligningstypen er defineret af den højeste effekt, så i eksemplet ovenfor ville det ikke være en kubisk ligning, hvis a = 0, fordi den højeste magtperiode ville være bx² og det ville være en kvadratisk ligning. Dette betyder, at følgende er alle kubiske ligninger:

Den nemmeste måde at løse en kubisk ligning på er lidt gætteri og en algoritmisk type proces kaldet syntetisk division. Starten er dog dybest set den samme som prøve- og fejlmetoden til kubiske ligningsløsninger. Prøv at finde ud af, hvad en af ​​rødderne er ved at gætte. Hvis du har en ligning, hvor den første koefficient, -en, er lig med 1, så er det lidt lettere at gætte en af ​​rødderne, fordi de altid er faktorer for det konstante udtryk, som er repræsenteret ovenfor af d.

Så ser man f.eks. På følgende ligning:

Du skal gætte en af ​​værdierne for x, men siden -en = 1 i dette tilfælde ved du, at uanset hvilken værdi der er, skal den være en faktor 24. Den første sådan faktor er 1, men dette vil efterlade:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Hvilket ikke er nul, og −1 ville efterlade:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Hvilket igen ikke er nul. Næste, x = 2 ville give:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

En anden mislykkes. Prøver x = −2 giver:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Det betyder x = −2 er en rod af den kubiske ligning. Dette viser fordelene og ulemperne ved prøve- og fejlmetoden: Du kan få svaret uden meget tænkt, men det er tidskrævende (især hvis du skal gå til højere faktorer, før du finder en rod). Heldigvis, når du har fundet en rod, kan du nemt løse resten af ​​ligningen.

Nøglen er at inkorporere faktor sætning. Dette siger, at hvis x = s er en løsning, derefter (x – s) er en faktor, der kan trækkes ud af ligningen. For denne situation, s = −2, og så (x + 2) er en faktor, vi kan trække ud for at forlade:

Udtrykkene i den anden gruppe af parenteser har form af en kvadratisk ligning, så hvis du finder de passende værdier for -en og b, ligningen kan løses.

Dette kan opnås ved hjælp af syntetisk opdeling. Skriv først koefficienterne for den oprindelige ligning ned i den øverste række i en tabel med en skillelinje og derefter den kendte rod til højre:

Efterlad en ekstra række, og tilføj derefter en vandret linje under den. Tag først det første tal (1 i dette tilfælde) ned til rækken under din vandrette linje

Multiplicer nu det antal, du lige har bragt ned med den kendte rod. I dette tilfælde er 1 × −2 = −2, og dette skrives nedenfor det næste tal på listen som følger:

Tilføj derefter tallene i den anden kolonne, og anbring resultatet under den vandrette linje:

Gentag nu den proces, du lige har været igennem med det nye nummer under den vandrette linje: Multiplicer med rod, sæt svaret i det tomme rum i den næste kolonne, og tilføj derefter kolonnen for at få et nyt nummer på nederste række. Dette efterlader:

Og så gennemgå processen en sidste gang.

Det faktum, at det sidste svar er nul, fortæller dig, at du har en gyldig rod, så hvis dette ikke er nul, har du lavet en fejl et eller andet sted.

Nu fortæller den nederste række dig faktorerne for de tre termer i det andet sæt parenteser, så du kan skrive:

Også:

Dette er den vigtigste fase i løsningen, og du kan afslutte fra dette tidspunkt og frem på mange måder.

Når du har fjernet en faktor, kan du finde en løsning ved hjælp af faktorisering. Fra ovenstående trin er dette dybest set det samme problem som at indregne en kvadratisk ligning, som i nogle tilfælde kan være udfordrende. For udtrykket:

Hvis du husker, at de to tal, du sætter i parenteserne, skal tilføjes for at give den anden koefficient (7) og gang for at give den tredje (12), er det ret nemt at se det i dette tilfælde:

Du kan multiplicere dette for at kontrollere, hvis du vil. Føl dig ikke modløs, hvis du ikke kan se faktoriseringen med det samme; det kræver lidt øvelse. Dette efterlader den oprindelige ligning som:

Som du straks kan se, har løsninger på x = −2, 3 og 4 (som alle er faktorer på 24, den oprindelige konstant). I teorien kan det også være muligt at se hele faktoriseringen startende fra den oprindelige version af ligningen, men det er meget mere udfordrende, så det er bedre at finde en løsning fra forsøg og fejl og bruge fremgangsmåden ovenfor, før du prøver at få øje på en faktorisering.

Hvis du kæmper for at se faktoriseringen, kan du bruge den kvadratiske ligningsformel:

For at finde de resterende løsninger.

Selvom det er meget større og mindre simpelt at håndtere, er der en simpel kubisk ligningsløser i form af den kubiske formel. Dette er som den kvadratiske ligningsformel, idet du bare indtaster dine værdier for -en, b, c og d for at få en løsning, men er bare meget længere.

Det hedder, at:

hvor

og

Brug af denne formel er tidskrævende, men hvis du ikke ønsker at bruge prøve- og fejlmetoden til kubiske ligningsløsninger og derefter den kvadratiske formel, fungerer dette, når du gennemgår det hele.