Bogstavet E kan have to forskellige betydninger i matematik, afhængigt af om det er store bogstaver E eller små bogstaver e. Du ser normalt hovedstaden E på en lommeregner, hvor det betyder at hæve antallet, der kommer efter det, til en effekt på 10. For eksempel ville 1E6 stå for 1 × 106eller 1 million. Normalt er brugen af E forbeholdt numre, der ville være for lange til at blive vist på lommeregnerens skærm, hvis de blev skrevet ud på lang tid.
Matematikere bruger små bogstaver e til et meget mere interessant formål - at betegne Eulers nummer. Dette tal er ligesom π et irrationelt tal, fordi det har en decimal, der ikke gentager sig, og som strækker sig til uendelig. Som en irrationel person synes et irrationelt tal ikke at give mening, men det tal, som e betegner, behøver ikke at give mening for at være nyttigt. Faktisk er det et af de mest nyttige tal i matematik.
E i videnskabelig notation og betydningen af 1E6
Du har ikke brug for en lommeregner for at bruge E til at udtrykke et tal i videnskabelig notation. Du kan simpelthen lade E stå for baseroden til en eksponent, men kun når basen er 10. Du bruger ikke E til at stå for base 8, 4 eller andre baser, især hvis basen er Eulers nummer, f.eks.
Når du bruger E på denne måde, skriver du nummeretxEy, hvorxer det første sæt heltal i tallet ogyer eksponenten. For eksempel ville du skrive tallet 1 million som 1E6. I regelmæssig videnskabelig notation er dette 1 × 106, eller 1 efterfulgt af 6 nuller. Tilsvarende ville 5 millioner være 5E6, og 42.732 ville være 4,27E4. Når du skriver et tal i videnskabelig notation, uanset om du bruger E eller ej, afrunder du normalt til to decimaler.
Hvor kommer Eulers nummer, e, fra?
Antallet repræsenteret af e blev opdaget af matematikeren Leonard Euler som en løsning på et problem fra en anden matematiker, Jacob Bernoulli, 50 år tidligere. Bernoullis problem var et økonomisk problem.
Antag at du lægger $ 1.000 i en bank, der betaler 100% årlig sammensat rente og lader den være der i et år. Du har $ 2.000. Antag nu, at renten er halvt så høj, men banken betaler den to gange om året. Ved udgangen af et år ville du have $ 2.250. Antag nu, at banken kun betalte 8,33%, hvilket er 1/12 af 100%, men betalte det 12 gange om året. I slutningen af året ville du have $ 2.613. Den generelle ligning for denne progression er:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
hvorrer 1 og n er betalingsperioden.
Det viser sig, at når n nærmer sig uendeligt, bliver resultatet tættere og tættere på e, hvilket er 2,7182818284 til 10 decimaler. Sådan opdagede Euler det. Det maksimale afkast, du kunne få på en investering på $ 1.000 på et år, ville være $ 2.718.
Eulers antal i naturen
Eksponenter med e som base er kendt som naturlige eksponenter, og her er grunden. Hvis du tegner en graf af
y = e ^ x
får du en kurve, der stiger eksponentielt, ligesom du ville gjort, hvis du plottede kurven med base 10 eller et andet tal. Dog kurveny= exhar to specielle egenskaber. For enhver værdi afx, værdien afyer lig med værdien af grafens hældning på det punkt, og det er lig med området under kurven op til det punkt. Dette gør e til et særligt vigtigt tal i beregning og i alle de videnskabelige områder, der bruger beregning.
Den logaritmiske spiral, som er repræsenteret af ligningen
r = ae ^ {bθ}
findes i hele naturen i muslingeskaller, fossiler og og blomster. Desuden dukker e op i adskillige videnskabelige sammenhænge, herunder undersøgelser af elektriske kredsløb, lovene om opvarmning og køling og fjederdæmpning. Selvom det blev opdaget for 350 år siden, finder forskere fortsat nye eksempler på Eulers antal i naturen.