I geometri er en radian en enhed, der bruges til at måle vinkler. Radian kommer fra længden af cirkelens radius. Segmentet af en cirkels omkreds, der svarer til vinklen fra to radiuslinjer, udgør en bue. Den vinkel, som denne bue skaber, når du tegner linjer fra start- og slutpunkter til cirkelens centrum, er en radian. Selvom radianen i starten måske fremstår underlig og kompliceret, forenkler den ligninger i matematik og fysik.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
I geometri er en radian en enhed baseret på cirklen og bruges til at måle vinkler. Det letter beregninger i avancerede typer matematik.
Grader vs. Radianer
Uden for fysik og avanceret matematik er grader typisk mere velkendte enheder til vinkelmålinger. En cirkel har for eksempel 360 grader, en trekant har 180 og en retvinkel har 90. Derimod har en fuld cirkel 2 × π (pi) radianer, en trekant har π radianer, og en ret vinkel er π / 2 radianer. En cirkel har et helt antal grader, mens værdien i radianer er et irrationelt tal, så radianer ved første rødme kan virke underlige. På den anden side kan du muligvis udtrykke brøkdele af en grad som en decimal eller som de minutter, sekunder og decimal sekunder, du også bruger med tiden, så graden har sine egne problemer.
Lettere og sværere
Gradmålinger er typisk lettere at håndtere end radianer til grundlæggende aritmetik og trigonometri; du skal sjældent håndtere fraktioner af π, når du udtrykker en vinkel. Men for beregning og anden avanceret matematik viser det sig, at radianer er lettere. For eksempel er effektserien for sinusfunktionen i radianer som følger:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
I grader ser funktionen sådan ud:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
For denne strømserie skal du bemærke, at du skal gentage “π ×x/ 180 ”for hver periode - en masse ekstra skrivning og beregning i forhold til den pænere, mere kompakt ækvivalent i radianer. Radian kommer fra den naturlige geometri af en cirkel snarere end en division med et vilkårligt tal, som grader gør. Fordi radianer gør mange beregninger lettere, tænker matematikere enheden som mere ”naturlig” end grader.
Anvendelser til radianer
Ud over effektserier som eksempel på sinusfunktionen ser du radianer i matematik, der involverer beregning og differentialligninger. For eksempel, når du bruger radianer, er afledningen af sinusfunktionen sin (x), er simpelthen cosinus, cos (x). I grader er imidlertid afledningen af synd (x) er den mere besværlige (π ÷ 180) × cos (x). Efterhånden som du udvikler dig i matematik, bliver problemerne sværere, og løsningerne kræver mange flere linjer med beregning og algebra. Radianer sparer dig for en masse unødvendige ekstra skrivning og reducerer chancerne for at lave fejl.
I fysik bruger formler til bølgefrekvens og genstanders rotationshastighed en omega med små bogstaver, “ω, ”Som en bekvem stenografi for“ 2 × π × radianer pr. Sekund. ”
Konvertering af grader til radianer
Formlerne til at konvertere grader til radianer og tilbage igen er ligetil. For at konvertere vinkler i grader til radianer skal du gange vinklen med π og derefter dele med 180. For eksempel har en cirkel 360 grader. Multipliceret med π, der bliver 360π; divider derefter med 180, og du får 2π radianer. For at konvertere fra radianer til grader multipliceres med 180 og derefter divideres med π. Konverter f.eks. En ret vinkel, π ÷ 2 radianer. Multiplicer med 180 for at få 90π, og del derefter med π for at få resultatet, 90 grader.