Ligesom i algebra, når du begynder at lære trigonometri, vil du akkumulere sæt formler, der er nyttige til problemløsning. Et sådant sæt er halvvinkelidentiteterne, som du kan bruge til to formål. Den ene er at konvertere trigonometriske funktioner til (θ/ 2) i funktioner i form af det mere velkendte (og lettere manipuleret)θ. Den anden er at finde den faktiske værdi af trigonometriske funktionerθ, hvornårθkan udtrykkes som halvdelen af en mere velkendt vinkel.
Gennemgang af halvvinklede identiteter
Mange matematiske lærebøger viser fire primære halvvinkelidentiteter. Men ved at anvende en blanding af algebra og trigonometri kan disse ligninger masseres i en række nyttige former. Du behøver ikke nødvendigvis huske alle disse (medmindre din lærer insisterer), men du skal i det mindste forstå, hvordan du bruger dem:
Halvvinklet identitet for sinus
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Half-Angle Identity for Cosine
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Halvvinklede identiteter for tangent
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Halvvinklede identiteter for Cotangent
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Et eksempel på brug af halvvinklede identiteter
Så hvordan bruger du halvvinkelidentiteter? Det første trin er at erkende, at du har at gøre med en vinkel, der er halvdelen af en mere velkendt vinkel.
- Kvadrant I: alle trig-funktioner
- Kvadrant II: kun sinus og cosecant
- Kvadrant III: kun tangent og cotangent
- Kvadrant IV: kun cosinus og secant
forestil dig, at du bliver bedt om at finde sinus i vinklen 15 grader. Dette er ikke en af de vinkler, som de fleste studerende vil huske værdierne for trig-funktioner til. Men hvis du lader 15 grader være lig med θ / 2 og derefter løser for θ, finder du det:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Fordi den resulterende θ, 30 grader, er en mere velkendt vinkel, vil det være nyttigt at bruge halvvinkelformlen her.
Fordi du er blevet bedt om at finde sinussen, er der virkelig kun en halvvinkelformel at vælge imellem:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Udskiftning iθ/ 2 = 15 grader ogθ= 30 grader giver dig:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Hvis du blev bedt om at finde tangenten eller cotangenten, som begge halvdelen multiplicerer måder at udtrykke deres halvvinkelidentitet på, ville du simpelthen vælge den version, der så bedst ud at arbejde.
± tegnet i starten af nogle halvvinkelidentiteter betyder, at den pågældende rod kan være positiv eller negativ. Du kan løse denne tvetydighed ved at bruge din viden om trigonometriske funktioner i kvadranter. Her er en hurtig oversigt over hvilke trig-funktioner, der vender tilbagepositivværdier, hvor kvadranter:
Fordi i dette tilfælde din vinkel θ repræsenterer 30 grader, hvilket falder i kvadrant I, ved du, at sinusværdien, den returnerer, vil være positiv. Så du kan slippe ± tegnet og blot evaluere:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Erstat i den velkendte, kendte værdi af cos (30). I dette tilfælde skal du bruge de nøjagtige værdier (i modsætning til decimale tilnærmelser fra et diagram):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Dernæst forenkler du højre side af din ligning for at finde en værdi for synd (15). Start med at gange udtrykket under radikalen med 2/2, hvilket giver dig:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Dette forenkler at:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Du kan derefter faktorere kvadratroden af 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
I de fleste tilfælde handler det omtrent så langt, som du ville forenkle. Selvom resultatet muligvis ikke er ret smukt, har du oversat sinus af en ukendt vinkel til en nøjagtig mængde.