Hvis du har lavet matematik i et stykke tid, er du sandsynligvis stødt på eksponenter. En eksponent er et tal, der kaldes basen, efterfulgt af et andet nummer, der normalt er skrevet i overskrift. Det andet tal er eksponenten eller magten. Det fortæller dig, hvor mange tid der skal multipliceres med selve basen. For eksempel 82 betyder at multiplicere 8 i sig selv to gange for at få 16 og 103 betyder 10 × 10 × 10 = 1.000. Når du har negative eksponenter, dikterer den negative eksponentregel, at du i stedet for at multiplicere basen det angivne antal gange, opdeler basen i 1 det antal gange. Så
8 ^ {-2} = \ frac {1} {8 × 8} = \ frac {1} {64} \ tekst {og} 10 ^ {- 3} = \ frac {1} {10 × 10 × 10} = \ frac {1} {1.000} = 0,001
Det er muligt at udtrykke en generaliseret negativ eksponent definition ved at skrive:
x ^ {- n} = \ frac {1} {x ^ n}
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
For at multiplicere med en negativ eksponent skal du trække den eksponent. Hvis du vil dividere med en negativ eksponent, skal du tilføje den eksponent.
Multiplikation af negative eksponenter
Når du husker, at du kun kan multiplicere eksponenter, hvis de har samme base, er den generelle regel for multiplikation af to tal, der er rejst til eksponenter, at tilføje eksponenterne. For eksempel:
x ^ 5 × x ^ 3 = x ^ {(5 +3)} = x ^ 8
For at se hvorfor dette er sandt, skal du bemærke detx5 midler (x × x × x × x × x) ogx3 midler (x × x × x). Når du multiplicerer disse termer, får du (x × x × x × x × x × x × x × x) = x8.
En negativ eksponent betyder at opdele basen hævet til denne magt i 1. Så
x ^ 5 × x ^ {-3} = x ^ 5 × \ frac {1} {x ^ 3} = (x × x × x × x × x) × \ frac {1} {x × x × x}
Dette er en simpel opdeling. Du kan annullere tre af x'erne og forlade (x × x) eller x2. Med andre ord, når du multiplicerer med en negativ eksponent, tilføjer du stadig eksponenten, men da den er negativ, svarer dette til at trække den. Generelt,
x ^ n × x ^ {- m} = x ^ {(n - m)}
Opdeling af negative eksponenter
Ifølge definitionen af en negativ eksponent:
x ^ {- n} = \ frac {1} {x ^ n}
Når du deler med en negativ eksponent, svarer det til at multiplicere med den samme eksponent, kun positiv. For at se hvorfor dette er sandt, overvej
\ frac {1} {x ^ {- n}} = \ frac {1} {1 / x ^ n} = x ^ n
For eksempel antallet
\ frac {x ^ 5} {x ^ {- 3}} = x ^ 5 × x ^ 3
Du tilføjer eksponenterne for at fåx8. Reglen er:
\ frac {x ^ n} {x ^ {- m}} = x ^ {(n + m)}
Eksempler
1. Forenkle
x ^ 5y ^ 4 × x ^ {- 2} y ^ 2
Samling af eksponenterne:
x ^ {(5 - 2)} y ^ {(4 +2)} = x ^ 3y ^ 6
Du kan kun manipulere eksponenter, hvis de har den samme base, så du kan ikke forenkle yderligere.
2. Forenkle
\ frac {x ^ 3y ^ {- 5}} {x ^ 2 y ^ {- 3}}
At dividere med en negativ eksponent svarer til at multiplicere med den samme positive eksponent, så du kan omskrive dette udtryk:
\ start {align} \ frac {(x ^ 3y ^ {- 5}) × y ^ 3} {x ^ 2} & = x ^ {(3 - 2)} y ^ {(- 5 + 3)} \ \ & = xy ^ {- 2} \\ & = \ frac {x} {y ^ 2} \ end {justeret}
3. Forenkle
\ frac {x ^ 0y ^ 2} {xy ^ {- 3}}
Ethvert tal, der hæves til en eksponent på 0, er 1, så du kan omskrive dette udtryk for at læse:
x ^ {- 1} y ^ {(2 + 3)} = \ frac {y ^ 5} {x}